高中几何证明.docx

高中几何证明高中几何证明高中几何证明一、已知平行四边形ABCD，过ABC三点的圆O1，分别交AD.BD于E.F、过CDF三点的圆O2交AD于G。设圆O1.O2半径分别为R,r。1.求证AC^2=AG*AD2.AD:EG=R^2:r^2连接AC、GC。利用两个圆转化角的关系，∠AGC=180-∠DGC=180-∠DFC=∠BFC=∠BAC=∠ACD于是两个三角形ACG和ADC相似。第一问由此立得。同样利用上述相似，∠GCA=∠ADC=∠ABC。于是由“弦切角等于圆周角”，说明GC与圆O1相切。于是GC^2=GE*GA。在两个圆中利用正弦定理，不难发现R/r=BC/CD=AD/CD。此时AD/EG=AG*AD/AG*EG=AC^2/GC^2=(AC/GC)^2=(AD/CD)^2最后一个等式仍然源于前述相似二、因为不能上传图片，，所以口叙述一下，，高手们都可以想象出来吧在一个圆的圆上选不重合的四点，，，连接成一个非平行四边形非梯形的四边形，，也就是内切四边形吧，，然后延长其中两条边，，交于点A，，再延长另外两条边交于点B，，然后过A点做圆的两条切线，，切线交圆于点C和D，，怎样证明B,C,D共线?用调和点列的方法较为容易但方法的'掌握不在高中的要求内下面采用简单的定理来证明比较麻烦首先，设圆内接四边形为四边形ABCD,AB与DC交于点P，AD与BC交于点Q，过点Q做圆O的两条切线,切点分别为点E和点F.再设AC与BD交于点R,下面来证明一个更强的结论：P、F、R、E共线.设OQ交EF于L,PR交AQ于M,EF交AQ于点M',连结OF、OE、AL、OA、OD，并延长AL到S.由Menelaus定理，AB/BP×PC/CD×DQ/QA=1-------------------------------------------------------------------------------1由Ceva定理，AB/BP×PC/CD×DM/MA=1-------------------------------------------------------------------------------2由1、2，DM/MA=DQ/QA--------------------------------------------------------------------------------*另一方面，由射影定理，QE^2=QL×QO----------------------------------------------------------------------------------------------3由切割线定理，QE^2=QD×QA----------------------------------------------------------------------------------------------4由3，4，QL*QO=QD*QA所以O，L，D，A四点共圆