第十二章-全等三角形辅助线证明的几种方法(课堂PPT).ppt

初中数学辅助线专题（辅助线口诀）初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。1、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。在△BDE和△CDM中，BD=CD（中点定义）∠1=∠5（对顶角相等）ED=MD（辅助线作法）∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义）∴∠3+∠2=90°即：∠EDF=90°∴∠FDM=∠EDF=90°在△EDF和△MDF中ED=MD（辅助线作法）∠EDF=∠FDM（已证）DF=DF（公共边）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形对应边相等）∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边）∴BE+CF>EF在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE∵AD为△ABC的中线（已知）∴BD=CD（中线定义）在△ACD和△EBD中BD=CD（已证）∠1=∠2（对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形对应边相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB+AC>2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习二、截长补短法作辅助线让我们来大显身手吧！要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系定理证明。因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN即：AB-AC>PB-PC。证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN在△APN和△APC中AN=AC（辅助线作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共边）∴△APN≌△APC（SAS）∴PC=PN（全等三角形对应边相等）∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形两边之差小于第三边）∴BP-PC<AB-AC证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM在△ABP和△AMP中AB=AM（辅助线作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共边）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形对应边相等）又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)∴AB-AC>PB-PC。三平行线法若题设中含有中点，可以试过中点作平行线或中位线，对直角三角形，有时可作出斜边的中线。思路分析：四翻折法方法二：如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？证明：证明:证明:证明:练习1练习1练习2练习2练习2练习3如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?2.如图,△ABC中,D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.3.如图,A、A1关于OM对称,A、A2关于ON对称.若A1A2=6cm,求△ABC的周长.4.如图,△ABC中，MN是AC的垂直平分线.若AN=3cm,△ABM周长为13cm，求△ABC的周长.5.如图,△ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC.若BC=6cm,△AMN周长为13cm，求△ABC的周长.如何利用三角形的高来构造全等三角形？45