高中数学 平面向量数量积 新人教A版必修4.doc

6爱心用心专心课题：平面向量的数量积考情分析向量的数量积仍然是高考考查的热点经常以选择题填空题的形式出现难度适中但灵活多变。以重点考查平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题为主。向量的数量积还经常与三角函数、解三角形、解析几何等知识相结合一解答题形式出现命题的空间较大且形式灵活全面考查能力突出向量的工具性在知识的交汇处命题是高考的热点之一。复习要求理解平面向量数量积的含义及其物理意义。了解平面向量的数量积与向量投影的关系。掌握数量积的坐标表达式会进行平面向量数量积的运算。能运用数量积表示两个向量的夹角会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。◆复习重点数量积的坐标表示与数量积的运算夹角与模的相关问题与三角函数、解析几何等知识的综合应用复习难点数量积的几何意义的理解夹角与模的相关问题与三角函数、解析几何等知识的综合应用教学过程平面向量的数量积两向量的夹角向量的数量积两向量的夹角两向量的夹角性质=0=||2||≤||||cos=性质运算律A．考点梳理☆考点解读1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量与作＝＝则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与它们的夹角是θ则数量||||cos叫与的数量积记作即有=||||cos（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0B3.几何意义：“投影”的概念：作图BBAOB1(B1)OAB1OA定义：||cos叫做向量在方向上的投影思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影是一个数量不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为||；当=180时投影为||几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影||cos的乘积4．代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量与=0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量与当与同向时=||||；当与反向时=||||（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cos=（此性质可以解决向量的夹角问题）；（4）=||2（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5）||≤||||（此性质要注意和绝对值的性质区别可以解决不等式的有关问题）；5．任何一种运算都满足一定的运算律以方便运算数量积的运算律：实数的运算律向量数量积运算律（交换律）ab=ba√（结合律）(ab)c=a(bc)×（分配律）a(b+c)=ab+ac√√5．两个向量的数量积的坐标运算B．考点典例1.平面向量的数量积及运算例1.（1）在直角三角形ABC中AB=5AC=4.求(2)若=（3-4）=（21）。试求（-2）·（2+3）解：（1）在△ABC中AB=5AC=4故而BC=3所以cos∠ABC=即＜＞=--ABC∴=-cos∠ABC=-5×3×=-9（2）-2=（-1-6）2+3=（12-5）∴（-2）·（2+3）=-1×12+（-6）×（-5）=18【评析】本例强调数量积的基本运算特别是夹角范围的判断对（2）小题还可以利用运算律展开与实数中的多项式乘法法则类比借此强调不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算中如：；等。Ex1已知=1=·=0点C在∠AOB内且∠AOB=设=+(∈R)则=3夹角与模例2.已知：是两个非零向量且==∣-∣求：与+的夹角解：设与+的夹角为由=得=又由==-2+∴=而=+2+=3∴=∴cos===CA∵０≤≤π∴=方法二：如图以O为起点做向量==OB连接AB得-=+显然△AOB为正三角形∠AOB=故而与+的夹角为。【评析】熟悉夹角公式的结构形式了解夹角与模的关系借助几何意义处理问题的简便性体现数形结合思想。Ex2如图在Rt△ABC中已知BC=a若长为2a的线段PQ以点A位中点问与的夹角取何值时的值最大？并求其最大值。C解：∵∴·=0Q又∵=-=-AB=-P∴=(-)·(-)=·-·-·+·=--·+·=--·(-)=-+·=-+cos故而当cos=1即=时最大其最大值为0【评析】