数与运算的研读 (2).doc

※数与运算的认知过程（摘自《小学数学研究》，高等教育出版社，第2、3、4、5章）第二章自然数系“自然数”这一术语首先为罗马学者波伊修斯（A.Boethius，475~524）使用。自然数是英文naturenumber的直译。在古代，所谓数，就是指自然数。我国古文献《周易·系辞传下》中有古人“结绳记数”和“刻划记数”的记载，西方的《荷马史诗》中有盲人波吕斐摩斯用“石子计数羊群”的故事，说明自然数是在大自然中生产劳动时“自然地”产生的。人类对数的认识在不断深化和发展。从自然数开始，扩充到整数，然后是有理数和实数，最后是复数、四元数和八元数。德国数学家克罗内克（LeopldKronecker，1823—1891）有一句名言：“上帝造就了自然数，其他的数都是人为的”。他的意思是，只有自然数是自然地存在着，在某种意义上还可以看得见，摸得着，而小数、分数则完全是人为的模型，更不要说实数和复数了。小学里学习的主要是自然数、正小数、正分数的计算。自然数概念是人类积累数学知识的开端，也是一切数学的基础。小学生学习的是朴素的自然数知识，是依赖自身的生活经验建立起来的。我们将介绍如何进行教学（第三节）。现代数学使用集合的语言，叙述自然数的基数和序数特性，从集合的观点阐述自然数的运算（第一节）。严格的自然数理论是用公理化方法建立起来的，这就是皮亚诺公理系（第二节）。这一章，我们将叙述这些解释和理论。第二节关于自然数1和0以及自然数的运算（一）“1”是一个特殊的自然数“一”再添上“一”就得到自然数“二”，“二”再添上“一”（即“一”添上“一”，再添上“一”）就得到自然数“三”，等等。正可谓2000多年前的《道德经》中所说的：“道生一，一生二，二生三，三生万物”。可见，“1”是自然数的单位，任何一个非零的自然数，都是由若干个单位“1”合并而成的。1是乘法的单位元，任何自然数A乘以1仍是自己。乘法的单位元，为除法奠定了基础。A的逆元A-1满足A·A-1=1。“1”还有许多特性，在研究数整除性时，1既不是质数也不是合数；在分数里，1是判别真分数和假分数的标准；在分数意义上，1的概念又有了发展，出现了整体“1”（或单位1），这时它所表示的已不是一个单一的实物，而是实物的一个整体；在有关倍数的应用题里，“1”表示一个整体或一个标准数。历史上，人们认识自然数都是从1开始的。在中国、埃及等古代的数码中，以及后来的古罗马数码中，都没有表示“零”的数码。现在通用的、表示“零”的数码“0”，最初是由印度提出的，大约在公元6－8世纪。（二）自然数0早期所说的自然数只是正整数序列。无论是基数理论，还是序数理论，事实上都不必涉及到0。我国的数学教科书中在20世纪90年代之前一直没有把0作为自然数，自然数从1开始。但是1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9），规定自然数包括0。因此，近年编写的中小学数学教材中，都根据上述国家标准进行了修改。具体的表述是：用0表示“一个物体也没有”所对应的计数。自然数包含0会带来一些行文中的不便。例如，在小学阶段的“整除”部分，是不考虑自然数0；在约数、倍数等概念中都不包括0；另外，一般情况下我们不说数0是几位数，所以最小的一位数是1。不把0作为自然数并不会对数学内容产生实质的影响，也不会对国际数学交流产生妨碍，所以许多人不赞成这一修改。但是，由于国家标准的严肃性，目前的出版物都遵循了“自然数包含0”的规定。另一方面，主张自然数包含0的理由也很多。首先，从集合论的角度看，0与空集的基数相对应。如前节所述，冯·诺依曼的序数构造，就直接从与0相对应的空集开始。其次，自然数系如果包含0，加法就有单位元，有了数0之后,自然数中的四则运算就相应地增加了内容,如a+0=a,0+a=a,0+0=0，a－0=a,，a－a=0，0－0=0,a×0=0,0×a=0，0×0=0，0÷a=0(a≠0)．这就丰富了自然数系的代数结构。第三，数0对于数的扩展来说十分重要。要将自然数系扩展到整数系，必须先添加0，然后再加入正整数的相反数，而0不是任何正整数的相反数。最后，也许是最重要的，是尽早引入0，有利于学生对自然数的理解。比如2–2=0，很自然，儿童容易理解，没有0，反而显得不方便。由于空集是任意一个非空集合的真子集，所以，对任何正整数a都有0<a，所以0是自然数集中最小的数。定义了自然数除法之后，零不能做除数，否则由0×a=0及自然数的除法定义将产生矛盾。四、关于自然数的加法和减法用集合语言定义的自然数，可以定义自然数的运算。注意，自然数所代表的集合都是有限集所谓有限集的严格定义是指：不能和自身的真子集对应的集合。本书不作展开。。前已表明，所谓自然数的相等a=b,是指a,b这两