高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 两个向量的数量积课堂导学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案.doc

63.1.3两个向量的数量积课堂导学三点剖析一、利用数量积公式求两个向量的夹角的余弦值【例1】如右图在空间四边形OABC中OA=8AB=6AC=4BC=5∠OAC=45°∠OAB=60°求OA与BC夹角的余弦值.思路分析：要求夹角的余弦值可先利用公式求OA·BC的数量积.解：∵∴=||||cos〈〉-|||AB|cos〈〉=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-16.∴cos〈〉=.∴OA与BC夹角的余弦值为.温馨提示由数量积公式可知cos〈a·b〉=因此要求角的余弦值可先求a·b.二、利用数量积的性质解决问题【例2】如下图已知平行四边形ABCD中AD＝４CD＝３∠D＝60°PA⊥平面ABCD并且PA＝6求PC的长．思路分析：可将表示成几个向量相加的形式再由数量积的性质a2=|a|2求出长度.解:∵∴||2＝·=()2＝＝62＋42＋32＋2｜｜||cos120°＝61-12＝49．∴PC＝7．温馨提示求PC的长先把PC转化为向量表示然后自身点积根据已知向量的模及向量间的夹角得其模的平方再开方即为所求．三、证明垂直问题【例3】在正方体ABCD—A1B1C1D1中E、F分别是BB1、D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.思路分析:要证EF⊥平面B1AC可证EF与平面B1AC内的两条相交直线垂直因此只需证·=0及·B1C=0即可.证明：设AB=a=c=b则=+=(+)=()=()=(-a+b+c)=a+b.∴=(-a+b+c)5(a+b)=(b2-a2+c·a+c·b)=(|b2|-|a|2+0+0)=0.∴即EF⊥AB1.同理EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1∴EF⊥平面B1AC.温馨提示要证明垂直问题在平行六面体内或在四面体内一般先选一组基底然后用向量数量积的性质证明数量积为零即可说明两向量垂直.各个击破类题演练1四面体ABCD的各棱长都相等E、F分别是BC、AD的中点求异面直线AE、CF所成角的余弦值.解析：如右图设边长为a.∵=()==∴·=（）（）=（a2cos60°-a2cos60°+a2cos60°-a2）=.又||=||=∴cos〈·〉=.∴余弦值为.变式提升1在正方体ABCD—A1B1C1D1中边长为e求向量与向量的夹角.解：设基向量=a=b=c则=-a-b=-a+c∴=(-a-b)·(-a+c)=e2∴cos〈〉==.∴夹角为60°.类题演练2已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中以顶点A为端点的三条棱长都是1且两两夹角为60°.则AC1长是多少?解析：∴||2=（）2=+·+·+2·=1+1+1+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°=6.∴||=.变式提升2已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中AB=4AD=3AA′=5∠BAD=90°∠BAA′=∠DAA′=60°求AC′的长.解析：则||=||2=85则||=.类题演练3已知空间四边形ABCD连AC、BD若AB=CDAC=BDE、F分别是AD、BC的中点试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线.解析：均可用表示只要证·=0·=0即可.变式提升3如右图正方体ABCD—A1B1C1D1中P是DD1的中点O是底面ABCD的中心求证：B1O⊥平面PAC.证明：连接DB取=a=b=c且|a|=|b|=|c|=1.则有=+=a+b=+=+=()+=a-b+c∴·=（a+b）·（a-b+c）=|a|2+a·b-a·b-|b|2+a·c+b·c=-=0.∴⊥即AC⊥OB1.又=+=b+c∴·=（a-b+c）·（b+c）=a·b-|b|2+c·b+a·c-b·c+|c|2=-+=0∴⊥即OB1⊥AP.∴OB1⊥平面ACP.