中国人民大学《高等数学》2021-2022学年第一学期期末试卷.pdf

考试日期:2022-01-038:30-11:00中国人民大学2021～2022学年第一学期《高等数学》课程考试试卷(A卷)一.单项选择题(每小题3分,6个小题共18分,将结果涂在答题卡上.)1.设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是【】f(x)(,){xn}B若收敛，则收敛若单调，则收敛A.{xn}{f(xn)}B.{xn}{f(xn)}若收敛，则收敛.若单调，则收敛.C.{f(xn)}{xn}D.{f(xn)}{xn}xn22.函数f(x)lim的间断点及类型是【C】nxn1A.x1是第一类间断点，x1是第二类间断点B.x1是第二类间断点，x1是第一类间断点C.x1均是第一类间断点D.x1均是第二类间断点2,|x|1分析f(x)3/2,x1，x1时函数无定义，x1为跳跃间断点.故选C.1,|x|13.当x0时，与x等价的无穷小量是【C】1xA.1ex.B.1x1.C.ln.D.1cosx.1x1分析1exx；1x1x；ln(1x)~x,ln(1x)~x21x1lnln(1x)ln(1x)~x；1cosxx.故选C.1x24.设函数f(x)在x0处连续，下列命题错误的是【D】f(x)f(x)f(x)A.若lim存在，则f(0)0.B.若lim存在，则f(0)0.x0xx0xf(x)f(x)f(x)C.若lim存在，则f(0)存在.D.若lim存在，则f(0)存在.x0xx0x15.曲线yxln(e)(x0)的渐近线条数为【】.xA.0B.1C.2D.31E6636B02012BD195C019CE06C16E30F4C73D03E32711A616D0819A1F3DE8F8F48FC1EF03BC41BA960B43D4F0472B73A72FC0F2BE2AA53CFE6A03217C57F1395DBF2DB6715F2B3FB87AC24A64410考试日期:2022-01-038:30-11:001分析limxln(e)，曲线无水平渐近线；xx1ln(et)limxln(e)lim0，曲线无铅直渐近线；x0xttf(x)ln(et)111klim1，lim(f(x)kx)lim，曲线有斜渐近线yx.xxxt0tee故选B.x2π6.设F(x)esintsintdt，则F(x)【A】xA.为正常数.B.为负常数.C.恒为零.D.不为常数.分析被积函数是以2π为周期的函数，故F(x)为常数，且x2πππF(x)esintsintdtesintsintdt(esintesint)sintdt0.xπ0故选A.二.填空题（每小题4分,4个小题共16分,将计算结果写在答题卡上.）xarctant1π7.曲线对应于t1处的法线方程为yxln20.2yln1t24tπ12解当t1时，x,yln2，y'|1t|1，42t11t11t21π1π所以法线方程为yln21(x)，也就是yxln20．2424π8.曲线yxsinx2cosx(x2π)的拐点是（π，2）.2解ysinxxcosx2sinx,yxsinx,令y0得x0，xπ.根据左右两侧二阶导数符号改变情况，可知（π，2）是拐点.π19.曲线ylncosx(0x)的弧长为ln3.62πππ1解s61tan2xdx6secxdxlnsecxtanx6ln3.0002(ln2)n10.y2x的麦克劳林公式中xn项的系数是a.nn!2E6636B02012BD195C019CE06C16E30F4C73D03E32711A616D0819A1F3DE8F8F48FC1EF03BC41BA960B43D4F0472B73A72FC0F2BE2AA53CFE6A03217C57F1395DBF2DB6715F2B3FB87AC24A64410考试日期:2022-01-038:30-11:00解由y2x，则y(n)lnn22x，y(n)(0)lnn2，故麦克劳林公式中xn项的系数为(ln2)na.nn!三．基本计算题（每小题7分,6个小题共42分,必须写出主要计算过程.）ax2x311．已知limb，求常数a,b的值.x1x1解当x1时，因分母x10，故分子ax2x30，（2分）即a2.（3分）2x2x3(x1)(2x3)blimlim5.（7分）x1x1x1x11