初三数学应用二次函数求面积的最值专题辅导.doc

用心爱心专心115号编辑应用二次函数求面积的最值吴复二次函数是初中数学的重要内容之一，应用它可探求几何图形面积的最值，而这类问题又是中考及竞赛的典型题型。下面举几例，说明其应用。例1如图1，已知正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的一个动点，QP⊥AP交DC于Q点。问：当点P在何位置时，△ADQ的面积最小？并求出其面积。解：设BP=x，则PC=4-x，S△ADQ=y，得y=·DQ=2DQ，所以。可知∠B=∠APQ=∠C=90°。因为△ABP~△PCQ，所以，所以，整理，得。所以当BP=2时，y取最小值为6。例2若y=x2-(k-1)x-k-1与x轴的交点为A、B，顶点为C，那么△ABC的面积的最小值为（）（A）1（B）2（C）3（D）4解：由于Δ=(k-1)2+4(k+1)=（k+1）2+4＞0。故对于任何实数k，抛物线与x轴总有两个交点，设这两点的横坐标分别为x1、x2，则==因为抛物线的顶点C坐标为（，-），所以S△ABC·|-=。因为≥4，当k=-1时等式成立，所以S△ABC≥。故选（A）。例3如图2，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=30°，AB=DE=a。当两三角形沿着直线FC移动时，求图中阴影部分的面积的最大值。解：设MB=x，则由已知，得AB=a，AM=a-x，∠A=∠AMK=60°，所以S阴影=S△ABC-S△NEC-S△AMK。因为S△ABC=·a·a，S△NEC=··x，S△AMK=·=.所以S阴影-，所以当x=时，S阴影最大=。注：此图形为不规则形，可用面积差来表示，在三角形移动过程中，△AMK为正三角形，阴影部分的面积在改变，故需用二次函数关系式来求解。例4如图3，已知△ABC的面积为2400cm2，底边BC长为80cm，若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形。当D位于什么位置时，四边形BDEF的面积最大。简解：设BD=x，SBDEF=y，又设△DCE的高为h，△ABC的高为h′，则y=xh。由此可求得h′=60。由AB∥ED，得△EDC~△ABC，故，所以y=，所以y=·x=-。最后由顶点坐标可得点D的位置。（点D应为BC的中点）