素材-全国-2019_班主任必备 故事学数学 巧查脚印破命案.doc

1巧查脚印破命案巴黎郊外有一座中世纪留下的古老城堡，其年代几乎与著名的“巴黎圣母院”同样久远，因而成了旅游观光的胜地，吸引了来自世界各地的游客。下面这则故事出自一位导游之口。古堡的顶层有一座尘封的钟楼，里面住着一个怪人，唯一的对外通道是个走起来嘎嘎响、陡峭异常的木质楼梯，有几十级，但肯定不到一百级。某日黄昏，怪人的四位互不相识的朋友阿列克赛、巴顿、克林、社邦，几乎在同一时间来访。他们发现怪人已经被人杀害了，房间里面看起来很恐怖。当下四人大惊失色，争先恐后地拼命逃走。从脏乱不堪的狭窄楼梯（一次只能通过一个人)跑下来，阿列克赛一步下2级台阶，巴顿一步下3级台阶，克林一步下4级台阶，而杜邦的本事最大，竟然一步能下5级台阶。出事以后，侠盗亚森•罗宾乔装成一名体面的上流社会绅士，自告奋勇地前来侦破此案。他发现，同时印下四个人脚印的台阶仅在最高处和最低处。为了追査凶手，脚印混乱了就不好办，于是亚森罗宾特别重视只留有一个人脚印的台阶。后来的结果充分证明他的看法是正确无误的，最后终于抓获凶手，把他绳之以法。现在要问你的是，通向钟楼的木楼梯上有多少级台阶只印下了一个人（不管是谁的）的脚印？(答案）由于4的倍数肯定是2的倍数，所以克林的情况可以不必考虑，这就省掉了一个人，2，3,4，5的最小公倍数是60，而60又小于100,所以钟楼的木楼梯共有60级台阶。阿列克赛的脚印落在第2,4,6,8,10,12，…，58，60级台阶上，但应排除2×3及其倍教的各级阶梯；同理，还需要排除4的倍数的各级阶梯和5的倍数的各级阶梯。于是剩下第2,１4,２2,２6,３4,３8,４6,５8共八级。其一般形式为2×ｐ（其中ｐ＝1，以及除去2,３,５以外的素数）。巴顿的脚印落在第3，6,9，12,…，60级阶梯上，但应排除混有别人脚印的第6,12,15，18,…级阶梯，剩下第3，9,21，27,33，39,51，57，共八级。前面已经说过克林的情况可以不考虑了，最后再来看一下杜邦的情况。很明显，只留下他一个人脚印的阶梯是第5,25,35,55级，共四级。所以，问题的答案是8+8+4=20级。