素材-全国-2020_小学数学 数学故事 奎伯的宠物.doc

1奎伯的宠物a．又是奎伯教授。奎伯教授：我给你再出一个难题。假如在我所有的宠物中，除了两只以外都是狗，除了两只以外都是猫，除了两只以外都是鹦鹉，那我有多少宠物？奎伯教授恰好有3只宠物：一条狗，一只猫和一只鹦鹉。“全部”即是一这个混淆的小问题可以用心算来解决，只要你认识到“全部”这个词也可以只是一个动物，最简单的情况——一条狗、一只猫、一只鹦鹉——就给出了答案。但是，这是把问题用代数式解决的一个很好的练习。用x，y和z代表狗、猫和鹦鹉的数量，n表示全部动物的数量，我们可以写出四个联立方程式：n=x+2n=y+2n=z+2n=x+y+z这些方程可用任何标准解法来解，从前三个方程中得到x=y=z，从n=x+2和n=3x(从第四个方程中得到)我们可以写出x+2=3x，它给出x的值是1，从x的值随后就可以得到全部的答案。由于动物的数量是正整数，我们可以把奎伯的宠物问题认为是对所谓丢番图问题的简单检验，这是一个必须用整数求解的代数方程问题。丢番图问题可以无解、一个解、有限解和无限解。这是一个难度较小的丢番图问题，涉及三种不同动物的联立方程式。1头奶牛值10美元，1头猪值3美元，1头羊值50美分。一个农夫要买100头牲畜，每种至少买1头，总共花100美元，每种牲畜各买多少?用x表示奶牛数，y表示猪数，z表示羊数，我们可以写两个方程：10x+3y+z/2=100x+y+z=100在第一个方程中各项都乘以2消去分式，然后再减去第二个方程，这就消去了z，得到：19x+5y=100x和y应是什么整数值?求解的途径是安排方程左边的最小系数：5y=100-19x两边用5除：y=(100-19x)/5现把100和19x用5除，把5的余项放后边形成未尾的分式，结果是：y=20-3x-4x/5显然，表达式4x/5一定是整数，这意味着x必须是5的倍数，5的最小倍数是5自身，这给出y的值是1(代回两个原方程式)，得z的值为94，如x取大于5的倍数，y就是负值，所以这个问题只有一个解：5头奶牛，一头猪和94头羊。只要在这个问题中改变动物的价格，你就能发现许多基本的丢番图分析。例如，奶牛4美元，猪2美元，羊1/2美元，如果这个农夫用100美元买100头牲畜，每种牲畜至少一头，各买多少头?这种情况下有三个解。如果奶牛5美元，猪2美元，羊50美分呢?此时无解。丢番图分析是数论的一个重要分支，有无限应用前景，一个著名丢番图问题——费马最后定理，对于方程xn+yn=zn是否有整数解，这里n是大于2的正整数，(如果n=2，称为毕达哥拉斯三角形，从32+42=52。开始有无限解)，这是数论中最著名的没有解决的问题，没有人找列一个解或证明其无解。