2024年广东省北大附中深圳南山分校高二数学第二学期期末学业水平测试试题含解析.docx

2024年广东省北大附中深圳南山分校高二数学第二学期期末学业水平测试试题含解析一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（）A.B.C.D.与2的大小关系不确定2、设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.若，则的最小值为（）A.B.C.4D.53、第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行．北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．根据安排，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是两个“相似椭圆”（离心率相同的两个椭圆我们称为“相似椭圆”）．如图，由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.4、等差数列中，，则前项的和（）A.B.C.D.5、已知随机变量X服从二项分布X~B(4，)，（）A.B.C.D.6、函数的值域为（）A.B.C.D.7、，则（）A.B.C.D.8、阿基米德（公元前287年~公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为6π，则椭圆C的标准方程为（）A.B.C.D.9、如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（）A.在上是增函数B.当时，取得最小值C.当时，取得极大值D.在上是增函数，在上是减函数10、已知x，y是实数，且，则的最大值是（）A.B.C.D.二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）11、“第七届全国画院美术作品展”于2021年12月2日至2022年2月20日在郑州美术馆展出.已知某油画作品高2米，宽6米，画的底部离地有2.7米（如图所示）.有一身高为1.8米的游客从正面观赏它（该游客头顶E到眼睛C的距离为10），设该游客离墙距离CD为x米，视角为.为使观赏视角最大，x应为___________米.12、已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________13、棱长为的正方体的顶点到截面的距离等于__________.14、的展开式中的系数为_________15、已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为___________.16、设函数，，若存在，成立，则实数的取值范围为__________.三、解答题（本题共5小题，每题12分，共60分）17、如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，平面ABCD，且，（1）求证：∥平面PCD；（2）求平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值18、二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.求：（1）；（2）展开式中的所有的有理项.19、在中，，，为边上一点，且（1）求；（2）若，求20、某校为了了解在校学生的支出情况，组织学生调查了该校2014年至2020年学生的人均月支出y(单位：百元)的数据如下表：年份2014201520162017201820192020年份代号t1234567人均月支出y3.94.34.65.45.86.26.9（1）求2014年至2020年中连续的两年里，两年人均月支出都超过4百元的概率；（2）求y关于t的线性回归方程；（3）利用（2）中的回归方程，预测该校2022年的人均月支出.附：最小二乘估计公式：，21、已知圆，圆心在直线上（1）求圆的标准方程；（2）求直线被圆截得的弦的长参考答案一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、答案：A【解析】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，由切线的性质可知：，，，结合椭圆的定义，即可得出结果.【详解】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，则由切线的性质可知：，，，所以，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.2、答案：C【解析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.【详解】，所以在抛物线的内部，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，，当且仅当、、三点共线时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.3、答案：C【解析】设内层椭圆的方程为，可得外层椭圆的方程为，设切线的方程为，联立方程组，根据，得到，同理得到，结合题意求得，进而求得离心率.【详解】设内层椭圆方程为，因为内外层的椭圆的离心率相同，可设外层椭圆