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有限元法，有限差分法和有限体积法的区别

有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划

分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制
方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代

数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，

是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格

式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分

格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组

合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地

形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有

三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶

计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成

不同的差分计算格式。

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠

的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由

各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将

微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早

应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域

离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合

来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域

内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分

法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不

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同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽

金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度

来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于

权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本

身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。

令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由
不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函

数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日

(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称

为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。
常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看

作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也

越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中
的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为

(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等

价的积分表达式，这是有限元法的出发点。

(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不

重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单

元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界

和本质边界的节点序号和相应的边界值。

(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值

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函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，

在选取基函数时可遵循一定的法则