2024届湖南省长沙市长郡中学高考适应考试(四)数学试题含答案.pdf

长郡中学2024届高考适应性考试（四）
数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．

1．已知集合A=1,2，B=2,4，C=z∣z=xy,xÎA,yÎB，则集合C中元素的个数为（）

A．1B．2C．3D．4
1
2．已知复数z在复平面内对应的点为1,1，z是z的共轭复数，则=（）
z
11111111
A．-+iB．+iC．-iD．--i
22222222
rrrr
3．若向量a=m,-3，b=3,1，则“m<1”是“向量a，b的夹角为钝角”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．智能主动降噪耳机的工作原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片

生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线y=Acoswx+j（其
p
中A>0，w>0，0„j<2p）的振幅为1，周期为2p，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波
2
曲线的解析式为（）

A．y=sinxB．y=cosxC．y=-sinxD．y=-cosx

a+a
5．已知各项均为正数的等比数列a的前n项和为S，若S=14，a=8，则711=（）
nn33a+a
59
42
A．4B．C．2D．
93

6．当圆C:x2+y2-4x+6y-3=0的圆心到直线l:mx+y+m-1=0的距离最大时，m=（）
3434
A．B．C．-D．-
4343

7．《九章算术・商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳

马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面ABCD截正方体可得两个堑堵，再沿
11

平面BCD截堑堵DAD-CBC可得一个阳马（四棱锥D-ABCD），一个鳖臑（三棱锥
1111111111
D-BCC），若P为线段CD上一动点，平面a过点P，CD^平面a，设正方体棱长为1，
11
PD=x，平面a与图中瞥臑的截面面积为S，则点P从点D移动到点C的过程中，S关于x的函数图
象大致是（）

A．B．

C．D．

cos2b-1
8．已知a,bÎ0,p，且tana==2，则cosa-b=（）
sin2b
4334
A．-B．-C．D．
5555
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

æ1ö6
9．下列关于ç3x-÷的展开式的说法中正确的是（）
èxø

A．所有项的系数和为64B．常数项为第4项

C．共有3项整式D．x3项的系数是-81

æ41ö
10．已知函数fx=lgçx2-x+÷，则下列说法中正确的是（）
è4ø

A．fx的最小值为1B．$xÎR，f1+fx=2

æ2öæ1öæ1ö
C．flog2>fç÷D．fç90.1-÷>fç30.18-÷
9è3øè2øè2ø
11．已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-2，焦点为F，O为坐标原点，Ax,y，
11

Bx,y是C上的两点，则下列说法中正确的是（）
22

A．点F的坐标为0,2

B．若AB=16，则AB的中点到x轴距离的最小值为8

C．若直线AB过点0,4，则以AB为直径的圆过点O
1
D．若直线OA与OB的斜率之积为-，则直线AB过点F
4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
uuuruuuur
x2
12．设F，F为椭圆C:+y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF×PF=0，则PF×PF=
1251212

________．
æ1öæ2öæ1ö
13．已知fx=ç+3÷ç1-÷2x2+ax+b，对任意的x¹0，都有fx-fç÷=0，则a+2b=
èxøèxøèxø

________，函数fx的最小值是________．

14．“迪拜世博会”上，中国馆取型中国传统灯笼，㝢意希望和光明．某人制作了一个中国馆的实心模
型，模型可视为由内外两个同轴圆柱组成．已知内层圆柱底面直径为12cm，外层圆柱底面直径为16cm，

且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm的球面上，此模型的体积为________cm3．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+2acosB=2，c=2．

（1）求角A；
（2）若tanC=2，点D在边BC上，ÐADB=2ÐABC，求AD．
16．（15分）为了研究学生每天整理数学错题情况，某课