机械制图 第3章 立体表面基本元素及基本体的投影.doc

第3章立体表面基本元素及基本体的投影

点、线、面是构成自然界中一切有形物体（简称形体）的基本几何元素，它们是不能脱离形体而孤立存在的。基本体是指形状简单且规则的形体，任何机件都可以看成是由若干个基本体组合而成的。因此，学习和掌握其投影特性和规律，能够为正确理解和表达形体打下坚实的基础。
3．1点的投影
点是最最基本的几何元素，为进一步研究正投影的规律，首先就要从点的投影开始谈起。
3．1．1点的三面投影及其规律
将空间点A放置在三投影面体系中，过点A分别作垂直于H面、V面、W面的投影线，投影线与H面的交点（即垂足点）a称为A点的水平投影（H投影）；投影线与V面的交点a′称为A点的正面投影（V投影）；投影线与W面的交点a″称为A点的侧面投影（W投影）。
在投影图中，统一规定：空间点用大写字母表示，其在H面的投影用相应的小写字母表示；在V面的投影用相应的小写字母右上角加一撇表示；在W面投影用相应的小写字母右上角加两撇表示。如图3-1a中，空间点A的三面投影分别用a、a′、a″表示。

图3-1点的三面投影

按前述规定将三投影面展开，就得到点A的三面投影图，如图3-1b所示。在点的投影图中一般只画出投影轴，不画投影面的边框，如图3-1c所示。
在图3-1a中，过空间点A的两条投影线Aa和Aa′所构成的矩形平面Aaaxa′与V面和H面互相垂直并相交，因而它们的交线aax、a′ax、OX轴必然互相垂直且相交于一点ax。当V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°而与V面在同一平面时，a′、ax、a三点共线，即a′axa成为一条垂直于OX轴的直线，见图3-1b。同理可证，连线a′aza″垂直于OZ轴。
在图3-1a中，Aaaxa′是一个矩形平面，线段Aa表示A点到H面的距离，Aa=a′ax。线段Aa′表示A点到V面的距离，Aa′=aax；同理可得，线段Aa″表示A点到W面的距离，Aa″=aay。ay在投影面展开后，被分为ayH和ayw两个部分，所以aaYh⊥OYH,a″ayw⊥OYW。
通过以上的分析，可得出点的投影特性如下：
（1）点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
a′a⊥OX，即A点的V和H投影连线垂直于X轴；
a′a″⊥OZ，即A点的V和W投影连线垂直于Z轴；
aaYh⊥OYH，a″ayw⊥OYW，oaYh=oayw
（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。
aax=a″az=Aa′,反映A点到V面的距离；
a′ax=a″ayw=Aa,反映A点到H面的距离；
a′az=aaYh=Aa″,反映A点到W面的距离；
根据上述投影特性可知：由点的两面投影就可确定点的空间位置，故只要已知点的任意两个投影，就可以运用投影规律求出该点的第三个投影。
【例3-1】已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其侧面投影a″，如图3-2a所示。
解:作图步骤如下
（1）过a′引OZ轴的垂线a′az，所求a″必在这条延长线上。
（2）在a′az的延长线上截取aza″=aax，a″即为所求。或以原点O为圆心，以aax为半径作弧，在向上引线，如图3-2d箭头所示；也可以过原点O作45°辅助线，过a作aaYH⊥OYH并延长交所作辅助线于一点，过此点作OYW轴垂线交a′az于一点，此点即为a″，如图3-2e箭头所示。

图3-2求点的第三投影

3．1．2点的投影与其直角坐标的关系
若将三面投影体系中的三个投影面看作是直角坐标系中的三个坐标面，则三条投影轴相当于坐标轴，原点相当于坐标原点。如图3-3所示：空间点Ｓ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）到三个投影面的距离可以用直角坐标来表示，即：
空间点Ｓ到Ｗ面的距离，等于点Ｓ的Ｘ轴坐标，即
空间点Ｓ到Ｖ面的距离，等于点Ｓ的Ｙ轴坐标，即
空间点Ｓ到Ｈ面的距离，等于点Ｓ的Ｚ轴坐标，即

图3-3点的投影与其直角坐标的关系

由此可见，若已知点的直角坐标，就可以作出点的三面投影。而点的任何一面投影都反映了点的两个坐标，点的两面投影即可反映点的三个坐标，也就确定了点的空间位置。因而，若已知点的任意两个投影，就可以作出点的第三个投影。
【例3-2】已知点A(50,40，45)，作其三面投影图。
解:作图步骤如下：
（1）方法一如图3-4a所示。
1)在投影轴OX、OYH和OYW、OZ上，分别从原点O截取50、40、45mm,得点ax、ayH和ayW、az。
2)过ax、ayH、ayW、az点，分别做投影轴OX、OYH、OYW、OZ的垂线，就交得A点的三面投影a、a′、a″。
（2）方法二如图3-4b所示。
1）在OX轴上，从O点截取50mm,得ax点。
2）过ax点作OX轴的垂线，在此垂线上，从ax点向下截取40mm,得a点，从ax点向上截取45mm，得a′点。
3）在OYH和OYW轴之间作45°辅助线，从