直线与圆锥曲线的位置关系.ppt

第7讲直线与圆锥曲线的位置关系考点梳理Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C________；
Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C__________．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是_____；若C为抛物
线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是_____．

(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算

一种方法
点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．
1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于()．

答案C
答案CA．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
答案C
4．(2013·福州模拟)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为 ()．
答案B答案[1,5)∪(5，＋∞)考向一直线与圆锥曲线位置关系的应用(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；
(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．
[审题视点](1)由已知条件建立方程组求解；(2)将直线方程与椭圆方程联立，证明方程组有唯一解． (1)求圆锥曲线方程，一般是根据已知条件建立方程组求a，b的值；(2)研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以4a＝8，a＝2.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，
所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，
化简得4k2－m2＋3＝0. (*)
[审题视点](1)根据顶点坐标与离心率以及椭圆中的恒等式建立方程求解；
(2)先联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式求|MN|，再将面积表达出来，最后解方程．
直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线、圆锥曲线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．(1)求椭圆的方程．
(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.(ii)求证：|PF1|＋|PF2|是定值．
[审题视点](1)把两点坐标代入椭圆方程，利用椭圆中相关的参数关系与离心率的公式可以求得b2＝1，a2＝2，求得椭圆的方程；
(2)利用椭圆的几何性质，结合直线与椭圆的位置关系，通过函数与方程思想来解决相应的斜率问题，并证明对应的定值．
以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证明题常见的有：证明直线过定点和证明某些量为定值．而解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．(1)求曲线C1的方程；
(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．法二由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.
(2)证明当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且