力学答案04.doc

第4章动能和势能习题解答第4章动能和势能习题解答
第四章基本知识小结

⒈功的定义式：
直角坐标系中：
自然坐标系中：
极坐标系中：

⒉
重力势能
弹簧弹性势能
静电势能

⒊动能定理适用于惯性系、质点、质点系

⒋机械能定理适用于惯性系

⒌机械能守恒定律适用于惯性系
若只有保守内力做功，则系统的机械能保持不变，

⒍碰撞的基本公式

对于完全弹性碰撞e=1
对于完全非弹性碰撞e=0
对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式。

⒎克尼希定理

绝对动能=质心动能+相对动能
应用于二体问题

u为二质点相对速率

4.2.2本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？
解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。
分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg，所以，人对传送带做功的功率为：
N=fv=mgv=50×9.8×2=9.8×102（瓦）

k2=0
k2＞0
k2＜0
df/dl
k1
l
4.2.3一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为表示弹簧的伸长量，k1为正，⑴研究当k2＞0、k2<0和k2=0时弹簧的劲度df/dl有何不同；⑵求出将弹簧由l1拉长至l2时弹簧对外界所做的功。
解：弹簧的劲度df/dl=k1+3k2l2.
k2=0时，df/dl=k1，与弹簧的伸长量
无关；当k2>0时，弹簧的劲度随弹簧
伸长量的增加而增大；k2<0时，弹簧
的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。
在以上三种情况中，劲度df/dl与弹簧伸长量l的关系如图所示。

F
4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F向下拉绳，证明力F对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。
证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r1,θ1变为r2,θ2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=F

4.2.5一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tgα=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？
解：设卡车匀速上坡时，速率为v,牵引力为F,功率为N,由质点平衡方程有，F=(0.04+sinα)mg，∴N=Fv=(0.04+sinα)mgv
设卡车匀速下坡时，速率为v’,牵引力为F',功率为N',由质点平衡方程有F'+mgsinα=0.04mg,F'=(0.04-sinα)mg,
∴N'=(0.04-sinα)mgv'.
令N'=N,即（0.04+sinα）mgv=(0.04-sinα)mgv'，可求得：
v'=v(0.04+sinα)/(0.04-sinα).利用三角函数关系式，可求得：sinα≈tgα=0.02,∴v'=3v=3×15×103/602m/s=12.5m/s.

4m
3m
A
B
T
x
θ
4.3.1质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N，木块在A点时具有向右的速率v0=6m/s，求力T将木块从A拉至B点时的速度。
解：以A为原点建立图示坐标o-x，木块由A到B，只有拉力T做功：
设木块到达B时的速度为v，由动能定理：
，方向向右

4.3.2质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F,F=60N,木块在A处有向上的速度v0=2m/s,求木块被拉至B时的速度。
0.5my0.5m
B
θ
0.5mFNF
W
AAx

解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy，木块在由A到B的运动过程中受三个力的作用,各力做功分别是：
AN=0；AW=-mg(yB-yA)=-1.2×9.8×0.5=-5.88J；F大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。

由动能定理：
代入数据，求得vB=3.86m/s.

k
l
4.3.3质量为m的物体与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0向右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离l为
m
m
证明：质点m由弹簧原长位
置运动到最远位置l，弹力F和滑
动摩擦力f对质点做负功，导致质
点动能由mv02/2变为0。根据动能定理：AF+Af=0-mv02/2……①
其中，，代入①中，并整理，有