第七章 图的定义和术语 1.ppt

第7章图 线性结构：是研究数据元素之间的一对一关系。在这种结构中，除第一个和最后一个元素外，任何一个元素都有唯一的一个直接前驱和直接后继。
树结构：是研究数据元素之间的一对多的关系。在这种结构中，每个元素对下(层)可以有0个或多个元素相联系，对上(层)只有唯一的一个元素相关，数据元素之间有明显的层次关系。 图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。
图结构：是研究数据元素之间的多对多的关系。在这种结构中，任意两个元素之间可能存在关系。即结点之间的关系可以是任意的，图中任意元素之间都可能相关。7.1图的定义和术语7.1.1图的定义和术语
顶点（Vertex)：在图中的数据元素通常称为顶点（Vertex)。约定V表示顶点的有穷非空集合，VR表示两个顶点之间的关系的集合。
弧（Arc）：表示两个顶点v和w之间存在一个关系，用<v,w>表示顶点v到w的一条弧。且称v为弧尾（Tail）或初始点，称w为弧头（Head）或终端点。此时的图称为有向图（Digraph）。其中，顶点偶对<v,w>的v和w之间是有序的。 无向图(Undigraph)：若图关系集合中，顶点偶对<v,w>的v和w之间是无序的，称图G是无向图。
若<v,w>属于VR，必有<w,v>属于VR，即VR是对称的。
那么用（v,w）代替这两个有序对，表示v和w的一条边（Edge）。如图7.1：设有向图G1和无向图G2，形式化定义分别是：
G1=(V1，A1)
V1={v1,v2,v3,v4}
A1={<v1,v2>,<v1,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>}
G2=(V2，E2)
V2={v1,v2,v3,v4,v5}
E2={(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v1),(v3,v5)}V1完全无向图：对于无向图，若图中顶点数为n，用e表示边的数目，则e[0，n(n-1)/2]。具有n(n-1)/2条边的无向图称为完全无向图。
完全无向图另外的定义是：
对于无向图G=(V，E)，若vi，vjV，当vi≠vj时，有(vi,vj)E，即图中任意两个不同的顶点间都有一条无向边，这样的无向图称为完全无向图。 完全有向图：对于有向图，若图中顶点数为n，用e表示弧的数目，则e[0，n(n-1)]。具有n(n-1)条边的有向图称为完全有向图。
完全有向图另外的定义是：
对于有向图G=(V，E)，若vi，vjV，当vi≠vj时，有<vi,vj>E并且<vj,vi>E，即图中任意两个不同的顶点间都有一条弧，这样的有向图称为完全有向图。 有很少边或弧的图（e<n㏒n）的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

权(Weight)：与图的边和弧相关的数。权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图称为网。子图和生成子图：设有图G=(V，E)和G’=(V’，E’)，若V’V且E’E，则称图G’是G的子图；若V’=V且E’E，则称图G’是G的一个生成子图。P7.2 对于无向图G=(V，E)，若边(v,w)E，则称顶点v和w互为邻接点，即v和w相邻接。边(v,w)依附(incident)于顶点v和w，或者说(v,w)和顶点v和w相关联。
图G中和v相关联的边的数目称为顶点v的度(degree)，记为TD(v)。例如无向图G2。TD(V1)，TD(V2)，TD(V3)，TD(V4)，TD(V5) 对于有向图G=(V，E)，若有向弧<v,w>E，则称顶点v“邻接到”顶点w，顶点w“邻接自”顶点v，弧<v,w>与顶点v和w“相关联”。
对有向图G=(V，E)，若viV，图G中以顶点v作为尾或初始的有向边(弧)的数目称为顶点v的出度(Outdegree)，记为OD(v)；以v作为头或终点的有向边(弧)的数目称为顶点v的入度(Indegree)，记为ID(v)。顶点v的出度与入度之和称为v的度，记为TD(v)。即
TD(v)=OD(v)+ID(v)例如图7.1所示的无向图。OD(v1)，ID(,1)，TD(v1)；OD(v3)，ID(,3)，TD(v1)一般地，如果顶点vi在的度记为TD(vi)，那么一个有n个顶点，e条边或弧的图，满足：
∑TD(vi)=2e 路径(Path)：对无向图G=(V，E)，若从顶点vi经过若干条边能到达vj，称顶点vi和vj是连通的，又称顶点vi到vj有路径。
对有向图G=(V，E)，从顶点vi到vj有有向路径，指的是从顶点vi经过若干条有向边(弧)能到达vj。 路径的长度：路径上边或有向边(弧)的数目称为该路径的长度。
在一条路径中，若没有重复相同的顶点，该路径称为简单路径；第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路(环)；在一个回路中，若除第一个与最后一个顶点外，其余顶