第三章 幂级数展开.ppt

梁昆淼编第三章幂级数展开第三章幂级数展开2、复数项级数的收敛判据
——柯西收敛判据（3）复数项级数的收敛定义二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质★如果级数2、一致收敛及其性质*三、关于收敛的讨论★如果级数是解析函数级数，若§3.2幂级数二、幂级数收敛判别法2、柯西法求收敛半径（根式法）例1，求级数1、级数在收敛圆内绝对且一致收敛2、级数的和在收敛圆内部
是解析函数（无奇点）★即级数的和可用连续函数的回路积分来表示，且连续函数
的回路积分可在积分号下求任意多次导数，说明该级数的
和是一个解析函数。3、级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次§3.3泰勒级数展开★f(z)在内解析，则应用柯西公式，在内有★则有★则有★收敛圆半径为二、解析函数展为泰勒级数举例★故有：在★（2）同理：2、间接展开法★一些常用初等复变函数的泰勒展开式例5，在zo=0的邻域上将展开（m不是整数）。★根据§3.4解析延拓★两函数有怎样的关系呢？二、解析延拓的方法三、函数解析延拓的唯一性★显然，G(z)在B上不为零，若使G(z)在b上处处为零，必须有§3.5洛朗级数展开（1）如果，两收敛域无公共部分；★解析部分与负幂部分都收敛的区域，洛朗级数才可能收敛。三、洛朗定理★由复通区域的柯西公式：★令k=－（l+1），得★最后的洛朗级数:(1)洛朗级数既可以在奇点附近展开，也可在非奇点附近展开；四、函数的洛朗展开法例2，将函数（2）在区域中例3.求ctgz在z=0的邻域内的洛朗展开。★由此
推得：例4.在z=z0的邻域内展开★正幂次数应当是：m=l-n§3.6孤立奇点的分类二、孤立奇点的分类及性质可去奇点的判定★注意:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点。★如果补充定义:（2）极点（3）本性奇点