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第四章4.1引言 (1)按照设计要求,确定滤波器的性能指标;4.2模拟滤波器的设计 设计模拟低通滤波器是根据一组设计规范求得模拟系统函数,使其逼近理想低通滤波器的特性。通常可根据滤波器的幅度平方函数进行逼近,也可根据相位特性或群延迟特性进行逼近。 4.2.1低通模拟滤波器特性及幅度 平方逼近 上图给出了各种理想滤波器的幅频特性,这些 特性包括: 2.低通滤波器的技术指标及其幅频特性 通带截止频率及通带内的最大衰减 (或通带边缘增益)或通带波纹; (2)阻带截止频率及阻带内最小衰减 (或阻带边缘增益)或阻带波纹。对于单调下降的幅度特性,如果 且,,则称为3dB截止频率 或半功率截止频率。 通带波纹用来描述通带内最大和最小增益之差, 即。衰减为。可得与 的关系为: 阻带波纹用来描述阻带内的最大增益, 即。衰减为dB,可得与 的关系为: 3.由幅度平方函数确定系统函数由于滤波器冲激响应是实信号, 有,所以 由于为实信号,其系统函数中的极点(或零 点)必以共轭对形式出现。又由于实际可实现的滤波器 都是稳定的,其系统函数的极点一定位于s左半平 面,而的极点一定位于s右半平面,即左半平面 的极点属于,而右半平面的极点属于。4.2.2巴特沃斯滤波器设计 1.巴特沃斯滤波器的特性 应用巴特沃斯幅度平方函数描述的低通滤波 器具有如下特点。(4)当时,即过渡带和阻带内,也随 着的增大单调减小,但比通带内衰减的速度快得 多,且N越大,衰减速度越快,过渡带也就越陡峭, 如图所示。 巴特沃斯滤波器幅度特性及其与N的关系 2.巴特沃斯滤波器的系统函数可见,巴特沃斯滤波器是一个全极点型滤波器。共 有2N个极点,每个极点表示如下:由上可看出,的极点分布特点为: (3)N为奇数时,实轴上有极点;N为偶数时,实轴上 无极点。 例4-1导出三阶巴特沃斯型低通滤波器 的系统函数,已知各极点为:取s平面左半平面的极点、和组 成:3.巴特沃斯模拟滤波器的设计方法从而得到:例4-2已知一个模拟低通滤波器通带截 止频率通带最大衰减 阻带起始频率,阻带最小衰 减,试根据上述要求设计巴特 沃斯低通滤波器。 解 (1)确定滤波器的阶数 则(3)写出滤波器的系统函数 4.2.3切比雪夫I型滤波器设计若切比雪夫滤波器的幅度特性在通带内是等波纹的, 而在阻带内是单调的,则称之为切比雪夫I型滤波器,如图 所示 N阶切比雪夫I型滤波器形状N阶模拟切比雪夫I型滤波器,其幅度平方函数定义为: 2.切比雪夫模拟滤波器的设计方法则系统函数为:例4-3一个模拟低通滤波器,要求通带截止频率为 3kHz,通带最大衰减为0.1dB,阻带截止频率为12kHz, 阻带最小衰减为60dB。应用切比雪夫I型滤波器的设计 方法求该滤波器的幅度函数。 由,求得,则 所需滤波器的阶数为: 4.3无限冲激响应(IIR)数字滤波器设计一般IIR滤波器的传输函数为: 递归滤波器很难实现非递归滤波器所具有的线性 相位; 递归滤波器的优势在于,在实现类似的性能要 求时,递归滤波器比非递归滤波器所需要的系数 (或阶数)要小得多。 (1)先按照技术指标设计一个模拟滤波器,然后再按 照一定的映射关系将转换成数字滤波器的。我们主要介绍第一种方法,即利用模拟滤波器设计 数字滤波器。那么,如何将模拟滤波器的传输函数 转换成数字滤波器的传输函数呢?上述方法中得到广泛使用的有冲激响应不变法和双线性变换法。 (1)的频率响应要能够模仿的频率响应。4.3.1冲激响应不变法冲激响应不变法是依据数字滤波器的冲激响应 与模拟滤波器的冲激响应在采样点上值 相等,即 如果令是的拉普拉斯变换,是 的z变换,则由模拟系统的系统函数求拉普 拉斯逆变换得到模拟的冲激响应,然后采样得 到,再取z变换得。 下图显示了冲激响应不变法的s域到z域的映射关系。 若将和代入,可得 分析图不难发现,从s平面到z平面是一种多值映射关系, 因此,要求必须在~内严格带限,且带限于折 叠频率以内时,即 时才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤 波器的频率响应而不产生混叠失真,即 由于是实数,因而的极点必成共轭对存在, 则变成的映射关系为: , 例4-4已知模拟滤波器的系统函数为 试用冲激响应不变法求出相应的数字滤波器的系统函 数。 解根据冲激响应不变法中z平面和s平面的映射关系可知,相应 的数字滤波器在处有一对极点,其系统函数为: 这是一个二阶递归滤波器,在处有一对共轭极 点,在和处有两个零点。 4.冲激响应不变法的优缺点 4.3.2双线性变换法 1.变换原理 双线性变换法的映射关系 将s平面整个轴压缩到s1平面轴上的~ 一段上,可以通过以下的正切映射来实现: 从而得到s平面和z平面的单值映射关系为: 将和代入式得到模拟角频率

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