第3讲层次分析法.ppt

2014数学建模培训第3讲层次分析法一、引言人们在日常活动中，常常会面对一些决策问题。例如，大学生选择职业时，往往会从专业对口、发展潜力、待遇收入等多方面考虑和决策。
许多决策问题是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统，很难用通常的数学模型解决。
例如，在一群人中挑个子最高的很容易办到，选最胖者也不难，但要挑选一个最高、最胖且最帅的人就不容易了。
此类决策问题的困难主要在于:(1)有的指标不易量化;(2)有些指标相互关联，甚至相互矛盾，导致决策复杂化。层次分析法(AHP)是美国运筹学家Lsaaty在20世纪70年代初提出的一种定性分析与定量分析相结合的多准则决策方法，简单、实用，特别适用于人的定性判断起重要作用，对决策结果难于直接准确计量的问题。层次分析法是数学建模竞赛中的常用方法。在数学建模竞赛论文中，时常能看到层次分析法。
需要提醒大家注意的是，有些学生没有搞清楚层次分析法的特点、原理、优缺点及局限性，在建模中随意乱用层次分析法。
在本讲中，大家首先要搞清楚层次分析法主要用于解决何种问题，知晓层次分析法的基本原理和步骤，然后还要能熟练使用层次分析法软件。大家一定要完整地完成2～3个不同类型的实例，体验层次分析法的过程与结果。二、层次分析法的原理与步骤层次分析法的基本思路与人们对复杂问题的决策过程大体一致。当决策者在对问题进行分析时，首先要对分析对象的因素建立起彼此相关的层次递阶结构，这种层次递阶结构可以清晰地反映出诸相关因素(目标、准则、对象)的彼此关系，使得决策者能够把复杂的问题理顺，然后用一定标度将人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性和定量分析。
层次分析法大致可分为下面四个步骤：
(1)建立递阶层次结构；
(2)构造比较判断矩阵；
(3)单准则排序和一致性检验；
(4)层次总排序和一致性检验。三、递阶结构层次的建立层次分析法首先要把决策问题层次化。所谓层次化就是根据问题的性质以及要达到的目标，将问题分解为不同的因素，并按各因素间的隶属关系和关联程度分组，形成一个不相交的层次。
下面通过一个实例来说明构造层次以及层次分析法的决策过程。例1假设某企业领导要决定一笔资金如何使用。经过调研，现有下列方案可供选择：
(1)作为奖金发给职工；
(2)扩建宿舍和食堂等福利设施;
(3)举办职工进修班；
(4)建图书馆、俱乐部等；
(5)引进新设备进行技术改造。从调动职工工作积极性，提高职工文化技术水平和改善职工物质文化生活条件来看，这些方案都有其合理因素。如何使得这笔资金更合理地使用，就是企业领导面临的决策问题。
注意在建模实际问题中,如需用层次分析法，则首先要根据问题的特点建立适当的层次。请大家揣摩本题中构造层次结构的思路与过程。
通过分析，上述方案都是为了更好地调动职工工作积极性，提高企业技术水平和改善职工物质文化条件，而最终目的是为了企业进一步发展，增强企业的竞争力。
据此，可以建立下列层次结构：
资金使用问题的层次分析结构图也就是说，对于资金使用这个问题来说，模型结构分为三层。最高为目标层，即合理使用资金；中间为准则层，即合理使用资金的三个准则：调动职工积极性，提高企业技术水平和改善职工生活；最下一层为方案层,即可供选择的方案。建立问题的层次结构是层次分析法中最重要的一步。通常，层次结构分为三层，最高层只有一个元素，即决策者要达到的目标；中间层为衡量目标是否达到的若干判断准则；最低层为备选的具体方案。
上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用。除目标层外，每个元素至少受上一层一个元素支配；除方案层外，每个元素至少支配下一层一个元素；同一层次元素不存在支配关系。
建立层次结构的关键是能否构造出合理的满足一定支配关系的准则。四、比较判断矩阵的构造由于在决策者心目中，各准则对目标的影响程度不同，各方案对每个准则的影响程度也不同，所以建立层次结构后的首要任务是确定各准则对目标以及各方案对每个准则的权重。
层次分析法确定上述权重的方法是构造准则层和方案层的比较判断矩阵。1.准则层比较判断矩阵的构造
下面介绍准则C1,C2,…,Cn对目标Z的权重的确定方法。
在复杂问题中，准则的权重很难直接获得且不易定量化。Saaty提出可用对准则两两比较的方法来确定权重，即每次取两个准则Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj对Z的影响之比,全部比较结果用矩阵A=(aij)表示，称为准则层的比较判断矩阵。
显然，aji=1/aij，称A为正互反矩阵。
对于如何确定aij的值，Saaty提出用数字1～9及其倒数作为标度。
下表中列出了1～9标度的含义：判断矩阵的确定具有很强的主观性。比如，在例1中，假定企业领导对于资金使用的态度是：首先是提高企业的技术水平，其次是改善职工生活条件，最后是调动职工积极性，则准则层对目标层的