环的特征与素域.ppt

§3.6环的特征与素域(3.6ExpansionofRing)3.6.1环的特征数Def:设F是域,则由F的单位元e生成的F的最小子域P称为素域.这样,我们得到任一域的构造:Th2:对F[x]中的每一个次数1的多项式f(x),存在域F的扩域K,使f(x)在K中至少有一个根.将证明中的推导继续做下去,如果f(x)作为K[x]中的多项式仍有次数1的不可约因子,我们可将K再进行扩张.Def:设f(x)∈F[x],degf(x)=n1,E是F的一个扩域,且满足§3.10有限域(3.10LimitField)命题2:设F是特征数为p≠0的域,则:F→F,(a)=ap是单同态.∴(a+b)=(a+b)p=ap+bp=(a)+(b)(ab)=(ab)p=apbp=(a)(b)Th1:设F是任一域,G是F的非零元素乘法群的一个有限子群,则G是循环群.从而,对b∈G,有bm=1是G的恒等元,即F的单位元.从而对多项式xm+1-x∈F[x],在F中至少有q+1个不同的根.故q+1m+1.从而qm.Th2:设F=GF(n),其特征数为p(素数),则存在自然数m,使n=pm.