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物理通报物理问题讨论

对导体棒在匀强磁场中极限速度的讨论

葛晓东余杰成

（浙江省杭州第二中学浙江杭州３１００５３）

（收稿日期：２０１５—０５—１２）

摘要：在中学物理教材中有这么一类变加速的问题，定性判断的结果是物体最终要做匀速运动，但是在通过

对导体棒在磁场中运动情况进行严密的数学推导后得出了一个和常规理解不同的结论：匀强磁场中切割磁感线的

导体棒有可能无法达到匀速的状态，对这一熟知的结论进行了修正，并且将该结论推广到高中其他类似的问题模

型中去，比如在机车启动中的极限速度问题．

关键词：安培力电磁感应极限速度

Ｄ．线圈的最小速度一定是＾／／『二可
１题目
口
近日做到一道电磁感应方面的综合题：两条水
平虚线之间有垂直于纸面向里，宽度为ｄ，磁感应强
度为Ｂ的匀强磁场．质量为，电阻为Ｒ的正方形线

圈边长为Ｌ（Ｌ＜），线圈下边缘到磁场上边界的距××××
Ｂ
离为ｈ．将线圈由静止释放，其下边缘刚进入磁场和××××
刚穿出磁场时刻的速度都是。，则在整个线圈穿过××××
磁场的全过程中（从下边缘进入磁场到上边缘穿出图１
参考答案认为选项Ｃ也是正确的，理由是线圈
磁场，如图１所示），下列说法中正确的是
的全程运动情况可以分为：进入磁场前自由落体，线
Ａ．线圈可能一直做匀速运动
圈下边缘进入后开始做加速度减小的减速运动，在
Ｂ．线圈可能先加速后减速线圈上边缘进入磁场前达到匀速，速度为吾訾，线
Ｃ．线圈的最小速度可能是

磁场作用．变阻器的滑杆和支架是高磁导率的铁质效“屏蔽”．因此，一般通电滑动变阻器在外围空间产

材料，磁阻远低于空气磁阻，正好为电阻丝线圈电流生的磁场比地磁场弱很多，放在变阻器端头的小磁
产生的磁场提供磁路．２ＯＱ的滑动变阻器瓷筒内还针很难显示其存在．
有一根连接两端支架的铁杆，能更好地构成闭合磁参考文献

路．电阻丝线圈电流在其内部激发的磁场，一方面被１赵凯华，陈熙谋．电磁学（上册）．北京：人民教育出版社，

瓷管产生的附加磁场抵消部分，另一方面磁场的磁１９８０．２８８～２９０
感线在变阻器两端向金属支架汇聚，并通过金属滑２程守洙，江之永．普通物理学（第２册）．北京：人民教育出
杆形成磁通回路，这样“泄漏”到线圈外部空间的磁版社，１９８２．２４３～２６１
感线大幅减少，对电阻丝线圈电流的磁场进行了有
２０１５年第１１期物理通报物理问题讨论

圈完全进入磁场后又开始做加速度为ｇ的匀加速运０，这与上画的结论才盾！故假议小成立，引理让
一
动，在线圈下边缘刚要穿出磁场时其速度又增为毕．
所以说在整个运动过程中线圈的速度在其匀速
。，运用微积分的知识可解出一》，但这不在本
时达到最小ｆｆ￣ｍｇＲ

．
。，文的探究范围内．求解过程如下：
这个解释乍一看很有道理，但不难看出它只进尼一一ｎ：＝：一象
行了定性分析．于是笔者抱着怀疑的态度进行了定

量运算，证明了它的谬误并得到了一些副产物．是出
：＝：一
由于只研究线圈进入磁场时的运动情况，所以ｊ．一
本文将此过程一般化，即转化为一根导体棒在匀强一

磁场内运动的情况．ＩｎＩｌ＋Ｃ一一ｋｔ

１

—

先证明一个引理．将（￡，）一（０，）代人得一＂Ｕｏ
引理：在有限的时间内，一个加速度ａ数值和速
顺带一提，此运动的位移是有上界的，证明如
度数值始终成正比的减速直线运动的速度不可能
下：
减为零．

引理的证明：记￡＝＝＝ｍ时速度为ｍ，用反证法证明ｍ＋１≤
设ａ＝＝＝一ｋｖ，其中ｋ为大于零的常数．记初速度

为。（。＞０）．运用数学归纳法：２’

（１）时间一０一时，一。＞ｏ．反设＋１＞Ｖｍ，由于该运动为减速运动，故
（２）假设一磊（ｎ∈Ｎ）Ｉ１￣ｖ．＞０，下证≠一∈［，］时速度≥十１＞恒成立，从

时，ｌ＞０
而由题意可得ｎ＝－－ｋ＜一Ｔｋｖｍ故
由于该运动为减速运动∈［，］时，
卅＝＝：＋∑ｎ＜＋
速度≤７Ｊ恒成立，从而由题意可得］
口一一ｋｖ≥一ｋｖ（Ｔｍ＋ｌ一）（一）一
故
什一＋∑。≥这与假设矛盾！故假设不成立，即＋≤．
［最，］
＋（一磊）ｃ一）：＞０从而易得≤２＿ＺＶｏ．

结合上述讨论，由归纳原理知对于任意∈于是位移
∑一∑∑≤
均有￡＝：ｒ／时速度大于零．ｚ＝
，ｒｅ［，］
反设速度会在时间Ｔ后减为零，易知存在足善（一）≤丢一Ｔ２Ｖｏ

够大的自然数使得￡一＞Ｔ，故：时速度
故位移有上界．

１１０～
２０１５年第１１期物理通报物理问题讨论

中尼一ＢＺＬ２
利用一≥可算出位移关于时间的表达式但这不在本文的探究范围内．
，
』ｖｋ（Ｏ１一１）导体棒的速度图像如图３所示，为指数曲线，无
一一
限趋近于零．
从而易得位移的最小上界
（一古）：

但这不在本文的探究范围内．
由于只研究线圈进入磁场时的运动情况，所以
本文将此过程一般化，