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浅析中考中的动点问题
厦门市刘五店中学黄栋
内容摘要：中考数学命题中，动点问题常以压轴题频频出现。针对此类难题，教师要善于从历年试题分析中总结其解题方法与技巧，结合学生实际学情，用直观演示，动静结合，数形结合，讲练结合等方式，有针对性地循序渐进地指导学生分析解决此等类似问题，提高其审题与解题的能力。
关键词：动点运动以静制动动中求静以动制动数形结合分类讨论

动点问题一般是指在一个几何图形的背景下,一个或两个点在运动过程中构成了新的几何图形,由此而产生的问题。它往往考查学生对图形把握的直觉能力、空间想象能力以及从变化中看到不变的数学洞察力，培养学生用运动变化的观点看待周围世界，以及特殊与一般、动与静的辩证观点。初中《新课标》在数学教学目标中提出：数学教学要注重过程与方法，动点问题恰好具有这种特点，同时，它还是初高中数学知识衔接的重要体现；也是数学源于生活，又用于生活的一种体现。因此，它在近几年中考题中频频出现也就不足为奇了。那么，作为一名数学教师，该怎样指导你的学生面对这一难题呢？现在，我就以一线从教多年的经验，谈谈我的研究与心得。
一，动点问题的解题方法
解动点问题主要有以下方法：
第一，“以动窥静”，“以静制动”。辨证唯物主义认为：运动是无条件的、绝对的，静止是有条件的、相对的，动中有静，静中有动，世界上一切事物的存在和发展，都是绝对运动和相对静止的统一。动点问题中也存在运动和静止的相对统一关系。这时需要善于用动态思维来分析，不被“动”所迷惑，通过观察、分析、探究，把动态问题转化为静态的问题来解决，从而找到问题的突破口。通常，可以找出动点运动中符合题意的某一阶段的一瞬间，画出相对应的图形（以动窥静），再从一瞬间对应的图形出发，研究其中的特点，解答出问题（以静制动）。
例1，如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90º，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，问：当t分别为何值时，（1）点P，Q两点的距离最短；（2）四边形PQCD为平行四边形？
解：（1）当PQ⊥BC时，点P，Q两点的距离最短，
∵∠A=∠B=90°，∴四边形ABQP是矩形。
∴AP=BQ∵AP=t∴，BQ=26－3t
∴t=26－3t，解得：t=13/2
∴当t=13/2时，点P，Q两点的距离最短。
（2）当四边形PQCD为平行四边形时，有PD=CQ
∵PD=24－t，CQ=3t,
∴24－t=3t，解得：t=6∴当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形
点评；此题是典型动点问题，初看似乎与静止无关，实际上该问题的解决恰好运用了“以动窥静”，“以静制动”，随着P、Q两点的运动，四边形PQCD会出现几种临界状态：一般梯形、平行四边形、一般梯形、直角梯形、一般梯形、等腰梯形、一般梯形，找到对应的几种静止状态下某几条线段之间的大小关系：一般梯形（PD＞CQ），平行四边形（PD=CQ），一般梯形（PD＜CQ），直角梯形（AP=BQ），一般梯形（PD＜CQ），等腰梯形（PD＜CQ且AP-BQ=BC-AD），一般梯形（PD＜CQ）。第（1）题中四边形POCD对应状态是直角梯形（AP=BQ）第（2）题中四边形POCD对应状态是平行四边形（PD=CQ）。解决这类形题一般只要理解动点运动的整个过程，找出动点运动过程中的各种临界状态，画出相对应图形，理清各种临界状态变量之间关系，根据方程和函数就可解决。
第二，动中求静。很多动点问题中，往往蕴含不变的图形，不变的量，如果抓住了这些不变的图形，不变的量，就能以不变应万变，立于不败之地。
例2，在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．
（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；
（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．
解；（1）图①有BE－DF=EF；图②有DF－BE=EF；图③有BE+DF=EF。
（2）以图①中BE－DF=EF为例证明：
∵BE⊥PA、DF⊥PA，
∴∠AEB=∠AFD=90°
∴∠DAF+∠ADF=90°
∵∠DAF+∠BAE=∠BAD=90°
∴∠ADF=∠BAE
∵AB=AD
∴△ABE≌△DAF
∴AE=DF，BE=AF
∴BE－DF=AF－AE=EF
点评：解本题的关键是：找到不变量△ABE≌△DAF。从图中，观察可发现：无论P点如何变化，总有△ABE≌△D