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毕达哥拉斯定理的证明

侯昕彤南京大学匡亚明学院

摘要:
欧几里德的毕达哥拉斯定理证明。包括其中涉及的4条定义,5条公设,4条公理,25个命题证明,以及主证明(欧几里德《几何原本》第一卷命题47)。
关键词:毕达哥拉斯定理几何原本欧几里德

毕达哥拉斯定理:一个直角三角形斜边的平方,等于其两个直角边的平方和。欲证明该定理,首先给出下列定义,公设以及公理:
定义:
【定义1】当一条直线和另一条直横的直线交成的邻角彼此相等时,这些角的每一个被叫做直角。
【定义2】圆是由一条线包围成的平面图形,其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等。
【定义3】在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形。
【定义4】平行直线是在同一平面内的直线,向两个方向无限延长,在不论那个方向它们都不相交。
公设:
【共设1】由任意一点到另外任意一点可以画直线.
【共设2】一条有限直线可以继续延长.
【共设3】以任意点为心及任意的距离可以画圆。
【共设4】凡直角都彼此相等。
【共设5】同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于二自角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交
公理:
【公理1】等于同量的量彼此相等。
【公理2】等量加等量,其和仍相等。
【公理3】等量碱等量,其差仍相等。
【公理4】彼此能重合的物体是全等的。
根据给出的上述定义,公设,公理,进行下列命题的证明。证明段落中出现的【】表示该段证明所用的论据。
【命题1】命题:在一个已知有限直线上作一appear个等边三角形。
命题SEQ命题\*ARABIC1
设AB是已知有限直线。
那么,要求在线段AB上作一个等边三角形。
以A为中心,且以AB为距离画圆【共设3】
再以B为心,且以BA为直为距离画圆ACE;【共设3】
由两圆的交点C到A,B连线CA,CB.【共设1】
因为,点A是圆CDB的圆心,AC等于BA。【定义2】
又点B是圆CAE的圆心,BC等于BA,【定义2】但是,已经证明CA等于AB;所以线段CA,CB都等于AB。
而且等于同量的量彼此相等,【公理1】.
三条线段CA,AB,BC彼此相等.
所以三角形ABC是等边的,即在已知有限直线AB上作出了这个三角形.
这就是所要求作的.
【命题2】命题:由一个已知点(作为端点)作一线段等于已知线段

命题SEQ命题\*ARABIC2
设A是已知点,BC是已知线段,那么,要求由点A(作为端点)作一线段
等于已知线段BC.
由点A到点B连线段BC,【共设1】而且在AB上作等边三角形DAB,【命题1】
延长DA,DB成直线AE,BF,【共设2】
以B为心,以BC为距离画圆CGH.【共设3】
再以D为心,以DG为距离画圆GKL【共设3】.
因为点B是圆CGH的心,故BC少等于BG.【定义2】
且点B是圆CGH的心,故BC等于BG.【定义2】
又DA等于DB,所以余量AL等于余量BG【公理3】
但已证明了BC等于BG,所以线段AL,BG的每一个都等于BG又因等丁同量的量彼此相等.【公理1】
所以,AL也等于BC。
从而,由已知点A作出了线段AL等于一已知线段BC.
这就是所要求作的。


【命题3】命题:已知两条不相等的线段,试由大的上边截取一条线段使
它等于另外一条。

命题SEQ命题\*ARABIC3
设AB,C是两条不相等的线段,且AB大于C.
这样要求由较大的AB上截取一段等于较小的C,
由点A取AD等于线段C【命题2】,且以A为心,以D为距离画圆DEF。【公设3】
因为点A是圆DEF的圆心,故AE等于AD【定义2】
但C也等于AD,所以线段AE,C的每一条都等于AD;这样AE也等于C。【公理1】
所以,已知两条线段AD、C,由较大的AB上截取了AE等于C。
这就是所要求作的。



【命题4】命题:如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理)


命题SEQ命题\*ARABIC4
证明:
设ABC,DEF是两个三角形,两边AB,AC分别等于边DE、DF,即AB等于DE,且AC等于DF,以及角BAC等于角EDF。
如果移动三角形ABC到三角形DEF上,若点A落在D上且线段AB落在DE上,因为AB=DE,那么,点B也就与点E重合。
又,AB与DE重合,因为角BAC等于角EDF,线段AC也与DF重合。
因为AC等于DF,故点C也与点F重合。
又,B与E重合,故底BC也与底EF重合。
这样,整个三角形ABC与整个三角形DEF重合,由【公理4】,他们全等。命题得证。


【命题5】命题:在等腰三角形中,两底角彼此相等,并且若向下延长两腰,则在底以下的两个角也彼此相等

命题SEQ命题\*ARABIC5
证明:
设ABC是一个等腰二角形,边AB等于边AC,且延长A
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