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毕达哥拉斯定理的证明

侯昕彤南京大学匡亚明学院

摘要：
欧几里德的毕达哥拉斯定理证明。包括其中涉及的4条定义，5条公设，4条公理，25个命题证明，以及主证明（欧几里德《几何原本》第一卷命题47）。
关键词：毕达哥拉斯定理几何原本欧几里德

毕达哥拉斯定理：一个直角三角形斜边的平方，等于其两个直角边的平方和。欲证明该定理，首先给出下列定义，公设以及公理：
定义：
【定义1】当一条直线和另一条直横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角。
【定义2】圆是由一条线包围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等。
【定义3】在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形。
【定义4】平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论那个方向它们都不相交。
公设：
【共设1】由任意一点到另外任意一点可以画直线.
【共设2】一条有限直线可以继续延长.
【共设3】以任意点为心及任意的距离可以画圆。
【共设4】凡直角都彼此相等。
【共设5】同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二自角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交
公理：
【公理1】等于同量的量彼此相等。
【公理2】等量加等量，其和仍相等。
【公理3】等量碱等量，其差仍相等。
【公理4】彼此能重合的物体是全等的。
根据给出的上述定义，公设，公理，进行下列命题的证明。证明段落中出现的【】表示该段证明所用的论据。
【命题1】命题：在一个已知有限直线上作一appear个等边三角形。
命题SEQ命题\*ARABIC1
设AB是已知有限直线。
那么，要求在线段AB上作一个等边三角形。
以A为中心，且以AB为距离画圆【共设3】
再以B为心，且以BA为直为距离画圆ACE；【共设３】
由两圆的交点C到A,B连线CA，CB.【共设１】
因为，点A是圆CDB的圆心，AC等于BA。【定义2】
又点B是圆CAE的圆心，BC等于BA，【定义2】但是，已经证明CA等于AB;所以线段CA，CB都等于AB。
而且等于同量的量彼此相等，【公理1】.
三条线段CA,AB，BC彼此相等.
所以三角形ABC是等边的，即在已知有限直线AB上作出了这个三角形.
这就是所要求作的.
【命题2】命题：由一个已知点(作为端点)作一线段等于已知线段

命题SEQ命题\*ARABIC2
设A是已知点，BC是已知线段，那么，要求由点A(作为端点)作一线段
等于已知线段BC.
由点A到点B连线段BC,【共设1】而且在AB上作等边三角形DAB，【命题1】
延长DA，DB成直线AE，BF,【共设2】
以B为心，以BC为距离画圆CGH.【共设3】
再以D为心，以DG为距离画圆GKL【共设3】.
因为点B是圆CGH的心，故BC少等于BG.【定义2】
且点B是圆CGH的心，故BC等于BG.【定义2】
又DA等于DB,所以余量AL等于余量BG【公理3】
但已证明了BC等于BG，所以线段AL，BG的每一个都等于BG又因等丁同量的量彼此相等.【公理1】
所以，AL也等于BC。
从而，由已知点A作出了线段AL等于一已知线段BC.
这就是所要求作的。

【命题3】命题：已知两条不相等的线段，试由大的上边截取一条线段使
它等于另外一条。

命题SEQ命题\*ARABIC3
设AB，C是两条不相等的线段，且AB大于C.
这样要求由较大的AB上截取一段等于较小的C，
由点A取AD等于线段C【命题2】，且以A为心，以D为距离画圆DEF。【公设3】
因为点A是圆DEF的圆心，故AE等于AD【定义2】
但C也等于AD，所以线段AE，C的每一条都等于AD;这样AE也等于C。【公理1】
所以，已知两条线段AD、C，由较大的AB上截取了AE等于C。
这就是所要求作的。

【命题4】命题：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）

命题SEQ命题\*ARABIC4
证明：
设ABC，DEF是两个三角形，两边AB，AC分别等于边DE、DF，即AB等于DE，且AC等于DF，以及角BAC等于角EDF。
如果移动三角形ABC到三角形DEF上，若点A落在D上且线段AB落在DE上，因为AB=DE，那么，点B也就与点E重合。
又，AB与DE重合，因为角BAC等于角EDF，线段AC也与DF重合。
因为AC等于DF，故点C也与点F重合。
又，B与E重合，故底BC也与底EF重合。
这样，整个三角形ABC与整个三角形DEF重合，由【公理4】，他们全等。命题得证。

【命题5】命题：在等腰三角形中，两底角彼此相等，并且若向下延长两腰，则在底以下的两个角也彼此相等

命题SEQ命题\*ARABIC5
证明：
设ABC是一个等腰二角形，边AB等于边AC，且延长A