椭圆的简单几何性质(教案).doc

椭圆的简单几何性质
单县教研室周启杰
一、教学目标
知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准
方程中以及的几何意义，之间的相互关系。
过程与方法：用代数的方法研究曲线的几何性质．
情感、态度、价值观：通过用代数的方法研究曲线的几何性质，让学生充分认识、
体会数与形的联系与统一，认识椭圆的美学价值和应用价值。

教学重点
椭圆的简单几何性质：椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。
教学难点
利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质.
四、教学过程
【课前自主复习】
1.全面复习2.2.1中椭圆的有关知识；
2.复习必修2第二章---12页上头的内容，及必修2第三章的有关知识:
与直线平行的直线方程可写为

两平行直线间的距离为。
【课内探究】

出示学习目标：椭圆的几何性质

y
x
o

学习方法：利用椭圆的标准方程
研究椭圆的几何性质。

直观感知：观察椭圆的形状，你能
从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆哪些点比较特殊？

3．椭圆的几何性质
下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．
（1）范围

对观察结果，引导学生从标准方程，得出不等式，，即

，．
（引导学生由等式向不定式转化，克服难点）
这说明椭圆位于直线和直线所围成的矩形框里．

(2）对称性
可以看出，椭圆关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称。

在中，以代，以代，或以代，
同时以代，方程解不变．说明椭圆上的任一点关于轴的对称点，

关于轴的对称点，关于原点的对称点也在椭圆上，故椭圆关于轴对称。同理

关于轴对称，关于原点对称。
轴、轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
（3）顶点
引导学生从椭圆的标准方程分析它与轴、轴的交点，只须令

得，说明是椭圆与轴的两个交点。同理，令

得，点、是椭圆与轴的两个交点．所以椭圆与
它的对称轴有四个交点，椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点。
线段和分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和；

、的几何意义：叫做椭圆的长半轴长，叫做椭圆的短半轴长．
由椭圆的范围，对称性和顶点，就可以画出椭圆的草图。

（4）离心率
观察不同的椭圆，我们发现椭圆的扁平程度不一，那么，用什么量刻画椭圆的扁平程
度呢？
事实上，椭圆的扁平程度是相对的。椭圆的长半轴长为，
半焦距为。保持长半轴长不变，改变椭圆的半焦距，可以发现，越接近于，椭圆越扁平。这样，利用和这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度。
椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率，用表示，即．

先分析离心率的取值范围：
∵，∴．
离心率的大小对椭圆形状的影响：
=1\*GB3\*MERGEFORMAT①当趋近于1时，趋近于，从而越小，因此椭圆越扁平：
=2\*GB3\*MERGEFORMAT②当趋近于0时，趋近于0，从而趋近于，因此椭圆越接近于圆．
两焦点重合时，即时，图形变为圆，方程为。
同样，的大小也能刻画椭圆的扁平程度。
也可以运用三角函数的知识解释，为什么越大，椭圆越扁；越小，椭
圆越圆。

（5）阶段性小结：
四个基本量：，几何意义，相互关系，知二求二；
两个基本线：对称轴，对称轴的本质；
七个基本点：四个顶点，两个焦点，一个中心。
通过阶段性小结，深化学生的认识，让学生清楚，椭圆的简单几何性质是椭圆固有
的性质。

【例题分析】
例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
该例题考查椭圆的基本性质，需确定基本量，只要把原方程化为标准方程即
可。让学生独立解决问题，然后再让学生画出椭圆的草图。

该例题是椭圆的一个实际应用，考察学生的生活情感体验，阅读、分析能力，及椭圆的标准方程的求解方法。可用椭圆定义（本质），也可以用待定系数法（形式），注意解法的优化。

该例题让学生感受椭圆的另外一种定义方式（第二定义）。同时考查曲线方程的求法，让学生体会解析几何的基本思想和基本问题（利用坐标法，根据已知条件，求出曲线方程；然后利用曲线方程研究曲线性质，画出曲线图形）。强调：轨迹与轨迹方程的区别。

o
xx想x

该例题是关于直线与椭圆位置关系的综合问题，培养学生运用数形结合的思想，分析问题、解决问题的能力。先利用几何直观，再利用代数方法加以解决。可通过与圆类比，揭示求椭圆上的点到直线距离的最值的方法具有一般性，是解决类似问题的通法。
最大距离是什么？（）

【课堂小结】
知识：椭圆的几何性质
方法：运用曲线的方程研究曲线性质
思想：数形结合

【作业布置】
习题2.2A组3,4,5题