椭圆极其标准方程.doc

2．1．1椭圆及其标准方程

教学目标
知识目标
理解椭圆、焦点、焦距的定义。
掌握椭圆标准方程的推导过程。
会求一些简单的椭圆的标准方程。
能力目标
通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，使学生体会数形结合思想，对称的思想，转化的思想，以及在确定标准方程中通常用的待定系数法。
情感目标
通过椭圆定义及标准方程的推导，启发学生在研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，体会运动变化、对立统一的思想。
重点难点
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程。
难点：椭圆标准方程的推导。
教学方法
用教具演示椭圆的形成过程，然后采用观察、分析、合作的教学方法总结椭圆的定义。
对椭圆标准方程的推导，采用学生自主探究，教师指导的教学方法。
教学过程
教学内容设计意图一.椭圆的定义
情景引入
2003年12月30日凌晨,”探测一号”赤道卫星从我国某卫星发射基地升空,准确进入预定轨道环绕地球运行,揭开了我国实施”地球空间双星计划”的序幕.(同学们知道”探测一号”的运行轨道是什么形状吗?)
用圆柱形玻璃杯盛半杯水,当杯体直立时,水面的边界是一个圆,当杯体倾斜一个角度时(水面与杯壁四周都相交),水面的边界会变成另一种曲线,这一曲线的形状是什么?
2.操作得到椭圆
取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画板上的F1和F2两点,当绳长大于F1和F2的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在画板上慢满移动,就可以画出一个椭圆.
归纳定义
通过上面的演示让大家想一下怎样归纳一下椭圆的定义.
定义:平面内到两定点F1和F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距.

卫星是大部分同学都比较感兴趣的事物,卫星的引入可以大大调动学生求知的渴望.而杯中水的形状,让学生对椭圆有一个更加直观的认识.
通过实际操作得出椭圆,加深对椭圆的理解,提高学生的学习兴趣.思考与讨论:若到两焦点的距离之和(设为2a)等于或小于|F1F2|时,会得到怎样的轨迹呢?(学生回答)
归纳:当2a=2c时,轨迹是线段F1F2;
当2a<2c时,轨迹不存在.
二．椭圆的标准方程
已知椭圆的焦点为F1和F2,=2c椭圆上任意一点到焦点的距离之和等于常数2a,其中a>c.
建立直角坐标系
以过焦点F1和F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.
O
y
x
F1
F2

·M(x,y)

推导
设M(x,y)是椭圆上的任意一点,则由椭圆定义得:
+=2a
又=eq\r((x+c)2+y2)=eq\r((x-c)2+y2)
∴eq\r((x+c)2+y2)+eq\r((x-c)2+y2)=2a
指导学生自己解决含有两个根式的等式.请一名学生上黑板扮演,其余的下面完成.学生加深对距离之和大于定长的理解。不满足此条件那就不是椭圆.

在直角坐标平面上,直线和圆都有相应的方程,从而可以用代数方法研究它们的几何性质,椭圆的方程也是需要借助直角坐标系得出.

提示:先将一个根式放左边,其余的放右边,平方.整理后再将根式放左边,其余的放右边,平方.整理后得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
为使方程对称和谐,引入b(b的几何意义下节课讲).
a2-c2=b2a>b>0
原等式则化为eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),这就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
例题
例1判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标。
例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)a=4，b=1，焦点在x轴上；
(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；
例3．椭圆的两个焦点的坐标分别是F1（－4，0），F2（4，0）椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10，
求椭圆的标准方程。

三.归纳小结
定义:平面内到两定点F1和F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆
标准方程:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)体现了对称与转化的思想.
在这里一定注意:
b2+c2=a2及a>b>0

学生口答

师生共同完成

学生完成

主要是让学生自己回顾,对所学知识进行归纳总结,老师进行必要的补充.让学生学会学习学会反思.