根的判别式与韦达定理习题精选.doc

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根的判别式
【例1】当取什么值时，关于的方程。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。
答案：（1）；（2）；（3）
【例2】求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。解略。
【例3】当为什么值时，关于的方程有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分＝0和≠0两种情形讨论。
略解：当＝0即时，≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当≠0即时，方程有根的条件是：
△＝≥0，解得≥
∴当≥且时，方程有实根。综上所述：当≥时，方程有实根。
习题（一）
一、填空题：
1、下列方程①；②；③；④中，无实根的方程是。
2、已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是。
3、如果二次三项式在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则的取值范围是。
4、在一元二次方程中，若系数、可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是。
5、已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2=1有两个不相等实根,则k的取值范围是____.
6、关于x的方程(k-2)x2-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根,则k的取值范围是____.
7、已知方程kx2-2kx+k=x2-x+3有两个不相等实根,则k的取值范围是____.
8、关于x的方程2x(kx-4)-x2+6=0无实根,则k的最小整数值是____.
二、选择题：
9、下列方程中，无实数根的是（）
A、B、C、D、
10、若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（）
A、B、≤C、且≠2D、≥且≠2
11、在方程（≠0）中，若与异号，则方程（）
A、有两个不等实根B、有两个相等实根C、没有实根D、无法确定
三、试证：关于的方程必有实根。
习题（一）答案

一、填空题：1、①；2、；3、≤；4、105、6、7、
8、2二、选择题：9、C10、C11、A三：分两种情况讨论：（1）当时，；（2）当时，所以方程必有实根。
根与系数的关系
例1:已知2x2-3x-1=0的根是x1,x2求|x1-x2|的值.
解:

例2.已知关于x的一元二次方程.

解:

是x2-9x+23=0此时Δ=(-9)2-4×23=81-92=-11<0
方程无实根∴m=-1

例3:已知一元二次方程x2-2kx-5+2k=0的两根是x1,x2且求k的值.
解:由韦达定理得:x1+x2=2k,x1·x2=2k-5

两边平方得:(x1-x2)2=32

经检验k1=3和k2=-1都适合题意.
例4:已知m是正实数,关于x的方程2x2-mx-30=0的两根是x1,x2,且5x1+3x2=0，求m的值.
解:由根与系数间的关系可得①②由已知条件5x1+3x2=0③
解:①③组成的方程组解得:将方程组的解代入②得
m=4或m=-4∵m是正实数∴m=4
例5、已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求的值。由①②③解得：或，又由④可知≥
∴舍去，故
例6、已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问：与能否同号？若能同号请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由。
略解：由≥0得≤。，≥0
∴与可能同号，分两种情况讨论：
（1）若＞0，＞0，则，解得＜1且≠0∴≤且≠0
（2）若＜0，＜0，则，解得＞1与≤相矛盾
综上所述：当≤且≠0时，方程的两根同号。
例7、已知、是一元二次方程的两个实数根。
（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
（2）求使的值为整数的实数的整数值。
略解：（1）由≠0和△≥0＜0∵，
∴∴，但＜0∴不存在。
（2）＝＝，要使的值为整数，而为整数，只能取±1、±2、±4，又＜0∴存在整数的值为－2、－3、－5
例8、、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
略解：原式＝＝＝
例9.求一个一元二次方程,使它的两根分别是:.
解:记住公式：以x1x2为根的一元二次方程是：x2-(x1+x2)x+x1x2=0,以为根的方程是：6x2+5x-25=0
例10、关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是；＝。
分析：设另一根为，由根与系数的关系可建立关于和的方程组，解之即得。答案：，－1
练习（二）：
一、填空题：
1、已知方程的一个根是1，则它的另一个根是，的值是。
2、已知、是方程的两根，则的值为。
3、已知2x2-(2m+1)x+m+1=0的两根之比是2:3,则m=____.
4、已知方程3x2-2x-1=0的两根是x1,x2,则=____;=____;=____;=____.
5、已知8x2-(m-1)x+m-7=0的两根异号,且正根的绝对值大,则m的取值范围是____.若它的两根互为相反