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第页共NUMPAGES4页 根的判别式 【例1】当取什么值时,关于的方程。 (1)有两个相等实根;(2)有两个不相等的实根;(3)没有实根。 答案:(1);(2);(3) 【例2】求证:无论取何值,方程都有两个不相等的实根。 分析:列出△的代数式,证其恒大于零。解略。 【例3】当为什么值时,关于的方程有实根。 分析:题设中的方程未指明是一元二次方程,还是一元一次方程,所以应分=0和≠0两种情形讨论。 略解:当=0即时,≠0,方程为一元一次方程,总有实根;当≠0即时,方程有根的条件是: △=≥0,解得≥ ∴当≥且时,方程有实根。综上所述:当≥时,方程有实根。 习题(一) 一、填空题: 1、下列方程①;②;③;④中,无实根的方程是。 2、已知关于的方程有两个相等的实数根,那么的值是。 3、如果二次三项式在实数范围内总能分解成两个一次因式的积,则的取值范围是。 4、在一元二次方程中,若系数、可在1、2、3、4、5中取值,则其中有实数解的方程的个数是。 5、已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2=1有两个不相等实根,则k的取值范围是____. 6、关于x的方程(k-2)x2-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根,则k的取值范围是____. 7、已知方程kx2-2kx+k=x2-x+3有两个不相等实根,则k的取值范围是____. 8、关于x的方程2x(kx-4)-x2+6=0无实根,则k的最小整数值是____. 二、选择题: 9、下列方程中,无实数根的是() A、B、C、D、 10、若关于的一元二次方程有两个不相等的实根,则的取值范围是() A、B、≤C、且≠2D、≥且≠2 11、在方程(≠0)中,若与异号,则方程() A、有两个不等实根B、有两个相等实根C、没有实根D、无法确定 三、试证:关于的方程必有实根。 习题(一)答案 一、填空题:1、①;2、;3、≤;4、105、6、7、 8、2二、选择题:9、C10、C11、A三:分两种情况讨论:(1)当时,;(2)当时,所以方程必有实根。 根与系数的关系 例1:已知2x2-3x-1=0的根是x1,x2求|x1-x2|的值. 解: 例2.已知关于x的一元二次方程. 解: 是x2-9x+23=0此时Δ=(-9)2-4×23=81-92=-11<0 方程无实根∴m=-1 例3:已知一元二次方程x2-2kx-5+2k=0的两根是x1,x2且求k的值. 解:由韦达定理得:x1+x2=2k,x1·x2=2k-5 两边平方得:(x1-x2)2=32 经检验k1=3和k2=-1都适合题意. 例4:已知m是正实数,关于x的方程2x2-mx-30=0的两根是x1,x2,且5x1+3x2=0,求m的值. 解:由根与系数间的关系可得①②由已知条件5x1+3x2=0③ 解:①③组成的方程组解得:将方程组的解代入②得 m=4或m=-4∵m是正实数∴m=4 例5、已知关于的方程有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求的值。由①②③解得:或,又由④可知≥ ∴舍去,故 例6、已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根,问:与能否同号?若能同号请求出相应的的取值范围;若不能同号,请说明理由。 略解:由≥0得≤。,≥0 ∴与可能同号,分两种情况讨论: (1)若>0,>0,则,解得<1且≠0∴≤且≠0 (2)若<0,<0,则,解得>1与≤相矛盾 综上所述:当≤且≠0时,方程的两根同号。 例7、已知、是一元二次方程的两个实数根。 (1)是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。 (2)求使的值为整数的实数的整数值。 略解:(1)由≠0和△≥0<0∵, ∴∴,但<0∴不存在。 (2)==,要使的值为整数,而为整数,只能取±1、±2、±4,又<0∴存在整数的值为-2、-3、-5 例8、、是方程的两个根,不解方程,求下列代数式的值: 略解:原式=== 例9.求一个一元二次方程,使它的两根分别是:. 解:记住公式:以x1x2为根的一元二次方程是:x2-(x1+x2)x+x1x2=0,以为根的方程是:6x2+5x-25=0 例10、关于的方程的一个根是-2,则方程的另一根是;=。 分析:设另一根为,由根与系数的关系可建立关于和的方程组,解之即得。答案:,-1 练习(二): 一、填空题: 1、已知方程的一个根是1,则它的另一个根是,的值是。 2、已知、是方程的两根,则的值为。 3、已知2x2-(2m+1)x+m+1=0的两根之比是2:3,则m=____. 4、已知方程3x2-2x-1=0的两根是x1,x2,则=____;=____;=____;=____. 5、已知8x2-(m-1)x+m-7=0的两根异号,且正根的绝对值大,则m的取值范围是____.若它的两根互为相反

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