柯西积分公式的推广.ppt

补充：柯西积分公式的推广由§4.3知,f(z)在z0解析，则f(z)总可以在z0
的某一个圆域z-z0<R内展开成z-z0的幂级数。
若f(z)在z0点不解析，在z0的邻域中就不可能展开成
z-z0的幂级数，但如果在圆环域R1<z-z0<R2内解析，
那么，f(z)能否用级数表示呢？由此推想，若f(z)在R1<z-z0<R2内解析,f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析
的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解
析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数
和计算留数的基础。2.双边幂级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在
z-z0=R2内收敛，且和为s(z)+;在z-z0=R2外发散。z0定理5.1设双边幂级数（5.3）的收敛圆环为定理5.2设在圆环内解析,则在内

其中
,系数被及唯一确定.称为的洛朗展式.证明：对作对于第二个积分右边级数对仍一致收敛,沿逐项积分,可得右边级数在上一致收敛,两边乘上得：例1．求3、孤立奇点邻域内的罗朗展式
定义5.2若在奇点的某一去心邻域

内解析，则称为的一个孤立奇点。
若为的一个孤立奇点，则必存在数，使在的去心邻域

内可展成罗朗级数。例5.2求

在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式。解：有两个奇点和。
在的（最大）去心邻域在的（最大）去心邻域内例求（展开中心是（展开中心是（展开中心是此例子说明：同一个函数在不同的圆环内的洛朗展式可能
不同.例2求例3求在内的洛朗展式练习：求函数解析函数在孤立奇点的去心邻域内能展成洛朗级数（
由洛朗定理及如上例可见），但在非孤立奇点的邻域内
则不能。例问函数及(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理
函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。§2.解析函数的孤立奇点定义5.3设的孤立奇点。
（1）如果的主要部分为零，则称
的可去奇点（见例5.3）。2.可去奇点如果的可去奇点，则有例如，当我们约定就解析了。于是即知当。即是说，的
主要部分为零。证明二：因3.席瓦尔兹（Schwarz）引理如果函数且有
如果上式等号成立，或在圆内一点
处前一式等号成立，则（当且仅当）

其中为一实常数。定义内解析。如果这些关系式中，有一个取等号，这就意
味着在单位圆内的某一点达到
最大值，这只有时才可
能，此即。从几何上看，席瓦尔兹引理表明，任一解析函数，是一个旋转（图5.3）。并且只有当（1）的主要部分为的某去心邻域内有（由例1.28）。因此，的可去奇点，作为解析点来看，只要令级零点。例求函数显然同样的办法，可知例试求出所有1.基本概念定义5.5：设为的孤立奇点,令类似于有限孤立奇点的分类，可依设为的孤立奇点,则在的去心领域内命题1.设是的孤立奇点,则以为可去奇点主要部分0.注意：虽然我们可以定义例5.6求出解：（1）
为一级极点，得该函数的所有奇点为是一级极点，例考查函数因当例5.7若在
内解析，且不恒为零，又若有一列异于但却以为聚点的零点，
试证必为的本性奇点。证：是的孤立奇点，且不能是可去奇点，