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杨辉三角及其空间拓展

株洲市二中G0216刘子儒郭时伟

摘要
本文首先对杨辉三角中特有的数学规律作了初步探索,发现了其奇偶排列的等边三角形现象。然后,在研究中,我们在空间杨辉三角的问题上迈出了第一步——由平面杨辉三角走向三维杨辉三角。我们在研究过程中推导出了三维杨辉三角数坐标公式,并总结出其与三项式系数的关系。在三维杨辉三角模型的基础上我们又续而导出四维杨辉三角和N维杨辉三角。经过努力的研究,最后归纳出了四维及N维杨辉三角数坐标公式。由此得出了N项式展开项系数定理。在研究过程中我们还有机地结合现代计算机技术协助公式的推导,并将其付之实用,进一步完善了课题的研究。对此,还有几名著名的数学教授提出了宝贵的意见。
这些都是前人从未涉足过的领域,而这篇论文把这次研究的新颖性给淋漓尽致地体现出来了。

关键词:杨辉三角空间公式系数

杨辉三角,作为中国古代数学中的奇迹。在数学计算中,日常生活中,无时不刻地展示着自己的魅力。从古至今,从中国到外国,有无数的学者为之着迷。
但是,以往的学者们的研究只限于平面内的杨辉三角。如果考虑到空间上的拓展,那在学术上是突破性的。所以我们决定对杨辉三角进行全面、深刻地分析,将其拓展到三维、四维乃至N维。
研究杨辉三角,是在偶然中想到的。对于多次出现在数学课本上的“杨辉三角”,不对其有些想法才是奇怪了。而恰好我的母亲又叫“杨辉”。所以,小时候第一次在《十万个为什么》中看到时就留下了深刻的印象。再加上多次、再次地在高中数学课本中“相遇”,愈发觉得亲切。

一.杨辉三角的相关信息

看似简单的一个数字列表,却蕴藏着很深的奥秘。这无疑是我国古代劳动人民智慧的结晶,也集中地体现了数学的奥妙无穷。有了它,我们可以轻易地计算两个数的和的几次方,甚至用来开一个数的几次方。
杨辉(约十三世纪)字谦光,钱塘(今浙江杭州)人,是我国南宋时的数学家,杨辉的数学著作有《讲解九章算法》十二卷,流传至今的只是其中的一部分,其中“开方作法本源”载有二项式系数三角形,后人称为杨辉三角形,此外,他还著有《日用算法》二卷,《乘除通变算宝》三卷,《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等。


1
/\
1
/\/\
/\/\/\
(a+b)0
1
1
1
2
/\/\/\/\
3
1
3
/\/\/\/\/\
6
1
4
10
1
5
1
10
5
1
1
4
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
20
图1.1
\/
二项式展开的系数,按(图1.1)排列成一个三角形。这里每一行的外侧的两数都是1,中间的数字等于两肩的数的和。这一三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算法》一书(1261年),在我国通常称为杨辉三角形,杨辉在书中指出“一出《释锁》算书,贾宪用此术”,可见更早时代的贾宪已知道这一三角形了。并且,当时不仅用这一三角来求二项展开式的系数,还用于对一个数开n次方。在西方,十五世纪和十六世纪时,也有多人发现了这一三角形。国外却把它叫做帕斯卡三角形。而法国数学家帕斯卡(BlaisePascal,1623~1662)发现这一三角形却是十七世纪的事,比我国杨辉晚了五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
首先,让我们来看看杨辉三角的某些性质。
1.项数:在杨辉三角的第n行的项数为(n+1)。
2.系数:在杨辉三角形的第n行,各项的系数分别为:
C、C、C……C(n=1、2、3……)
这与二项式定理有密切的联系:
(a+b)n=Can+Can-1b1+…+Can-rbr+…+Cbn(nN*)
在其中令a=b=1则C+C+C+…+C=2n
所以,可推出杨辉三角形的第n行的系数和为2n。
3.总项数:在杨辉三角形的n行及以上,总的项数K=(n+1)(n+2)
4.通项公式:
令C表示第几行第(m+1)个数,则这个数的系数为C=
所以这个数为M=C·an-mbm=
5.最大值:
在杨辉三角的第几行中(mN*),当n=2m,Km=C,即中间的一项
当n=2m+1,Km=C,或Km=C,即中间的两项。
以上是我们查阅的资料,再来看看我们自己的发现。

A
B
图5.1
如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出,便又会出现一种奇特的现象,所有的偶数都会呈现出倒立的等边三角形状排列,而奇数都成正立三角形排列,且等边三角形(偶数)的边长依次为:
3、7、15、31、63……
经过反复思考比对,我们又发出现了其中的规律即:
3=22-17=23-115=24-131=25-1
即所有的偶数依次排出以(2n-1)(nN*)的长度为边长的倒立的等边三角形。
以上种种的性质都向我们展示了杨辉三角独特的魅力,那么,它在解题中有哪些运用呢?
例:如图5.1,有一只猫在A点,它要跑到老鼠所在
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