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杨辉三角及其空间拓展

株洲市二中G0216刘子儒郭时伟

摘要
本文首先对杨辉三角中特有的数学规律作了初步探索，发现了其奇偶排列的等边三角形现象。然后，在研究中，我们在空间杨辉三角的问题上迈出了第一步——由平面杨辉三角走向三维杨辉三角。我们在研究过程中推导出了三维杨辉三角数坐标公式，并总结出其与三项式系数的关系。在三维杨辉三角模型的基础上我们又续而导出四维杨辉三角和N维杨辉三角。经过努力的研究，最后归纳出了四维及N维杨辉三角数坐标公式。由此得出了N项式展开项系数定理。在研究过程中我们还有机地结合现代计算机技术协助公式的推导，并将其付之实用，进一步完善了课题的研究。对此,还有几名著名的数学教授提出了宝贵的意见。
这些都是前人从未涉足过的领域，而这篇论文把这次研究的新颖性给淋漓尽致地体现出来了。

关键词：杨辉三角空间公式系数

杨辉三角，作为中国古代数学中的奇迹。在数学计算中，日常生活中，无时不刻地展示着自己的魅力。从古至今，从中国到外国，有无数的学者为之着迷。
但是，以往的学者们的研究只限于平面内的杨辉三角。如果考虑到空间上的拓展，那在学术上是突破性的。所以我们决定对杨辉三角进行全面、深刻地分析，将其拓展到三维、四维乃至N维。
研究杨辉三角，是在偶然中想到的。对于多次出现在数学课本上的“杨辉三角”，不对其有些想法才是奇怪了。而恰好我的母亲又叫“杨辉”。所以，小时候第一次在《十万个为什么》中看到时就留下了深刻的印象。再加上多次、再次地在高中数学课本中“相遇”，愈发觉得亲切。

一．杨辉三角的相关信息

看似简单的一个数字列表，却蕴藏着很深的奥秘。这无疑是我国古代劳动人民智慧的结晶，也集中地体现了数学的奥妙无穷。有了它，我们可以轻易地计算两个数的和的几次方，甚至用来开一个数的几次方。
杨辉（约十三世纪）字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，是我国南宋时的数学家，杨辉的数学著作有《讲解九章算法》十二卷，流传至今的只是其中的一部分，其中“开方作法本源”载有二项式系数三角形，后人称为杨辉三角形，此外，他还著有《日用算法》二卷，《乘除通变算宝》三卷，《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等。

1
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(a+b)0
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2
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3
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6
1
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10
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(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
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图1.1
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二项式展开的系数，按（图1.1）排列成一个三角形。这里每一行的外侧的两数都是1，中间的数字等于两肩的数的和。这一三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算法》一书（1261年），在我国通常称为杨辉三角形，杨辉在书中指出“一出《释锁》算书，贾宪用此术”，可见更早时代的贾宪已知道这一三角形了。并且，当时不仅用这一三角来求二项展开式的系数，还用于对一个数开n次方。在西方，十五世纪和十六世纪时，也有多人发现了这一三角形。国外却把它叫做帕斯卡三角形。而法国数学家帕斯卡（BlaisePascal，1623~1662）发现这一三角形却是十七世纪的事，比我国杨辉晚了五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
首先，让我们来看看杨辉三角的某些性质。
1.项数:在杨辉三角的第n行的项数为(n+1)。
2.系数:在杨辉三角形的第n行，各项的系数分别为：
C、C、C……C（n=1、2、3……）
这与二项式定理有密切的联系：
(a+b)n=Can+Can-1b1+…+Can-rbr+…+Cbn（nN*）
在其中令a=b=1则C+C+C+…+C=2n
所以，可推出杨辉三角形的第n行的系数和为2n。
3.总项数:在杨辉三角形的n行及以上，总的项数K=(n+1)(n+2)
4.通项公式:
令C表示第几行第(m+1)个数，则这个数的系数为C=
所以这个数为M=C·an-mbm=
5.最大值：
在杨辉三角的第几行中（mN*）,当n=2m，Km=C，即中间的一项
当n=2m+1，Km=C，或Km=C，即中间的两项。
以上是我们查阅的资料，再来看看我们自己的发现。

A
B
图5.1
如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出，便又会出现一种奇特的现象，所有的偶数都会呈现出倒立的等边三角形状排列，而奇数都成正立三角形排列，且等边三角形（偶数）的边长依次为：
3、7、15、31、63……
经过反复思考比对，我们又发出现了其中的规律即：
3=22-17=23-115=24-131=25-1
即所有的偶数依次排出以（2n-1）（nN*）的长度为边长的倒立的等边三角形。
以上种种的性质都向我们展示了杨辉三角独特的魅力，那么，它在解题中有哪些运用呢？
例：如图5.1，有一只猫在A点，它要跑到老鼠所在