微积分 无穷级数.ppt

第八章无穷级数一、无穷级数的基本概念称为级数,其中第n项un叫做级数的一般项.级数的部分和:余项:如果q1,则部分和级数收敛的必要条件:证:无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质定理2(比较判别法)

解定理3.(比较法的极限形式)的敛散性.(2)当r1(或)时，级数发散解:所以根据比值判别法可知所给级数收敛解:因为(2)当r1(或r)时，级数发散解:因为§8.3任意项级数,绝对收敛这是一个交错级数.二、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与收敛的关系定理3解§8.4幂级数幂级数
1xx2x3xn
是公比为x的几何级数.如果幂级数∑anxn当xx0(x00)时收敛,则适合不等式|x|<|x0|的一切x使幂级数∑anxn绝对收敛.
反之,如果幂级数∑anxn当xx0时发散,则适合不等式|x|>|x0|的一切x使幂级数∑anxn发散.如果幂级数∑anxn不是仅在点x0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,使得
当|x|<R时,幂级数绝对收敛;
当|x|>R时,幂级数发散;
当xR与xR时,幂级数可能收敛也可能发散.定理2(收敛半径的求法)解:解:注:此级数缺少奇次幂的项,前述求收敛半径的方法不能直接应用.解:幂级数的性质:性质1幂级数∑anxn的和函数s(x)在收敛域I上连续幂级数的和函数的求法解: