弹性势能零势能点的选取和正负问题.doc

弹性势能零势能点的选取和正负问题
势能的概念是物理学中较为重要的概念。力学中主要涉及重力势能、弹性势能和引力势能。在中学物理力学部分的教学中，只着重讲了重力势能，对弹性势能只作了定性的介绍。在普通物理力学中，一般则认为弹性势能中学已讲过，所以不再赘述。因此，相当一部分学生在弹性势能概念和计算上经常出错。本文将在势能概念的基础上，谈一谈弹性势能的零势能点的选择问题以及弹性势能的正负问题。
（一）弹性势能的零点选择问题
势能值具有相对意义，即它是相对于势能零点来讲的，而零势能点的选择具有任意性，通常可以根据解题的方便，灵活恰当地选取，势能零点选择不同，势能值也不同，但两点间的势能差并不因零点选择的不同而改变。这是势能的共同特点，重力势能如此，弹性势能也不例外。由于中学课本中只谈了以弹簧自由长度处为弹性势能零点的情况，所以常引起一种错觉，似乎弹性势能的零点只能取在弹簧的自由长度处。其实不然，弹性势能的零点可以取在弹簧的自由长度处，也可以取在其它位置，弹性势能的零点原则上可以任意选取。如果弹性势能的零点取在弹簧自由长度处，则根据势能的定义“保守力的功等于物体系势能增量的负值”，显然在由零势能状态变化到任一状态的过程中，弹力总是作负功的，因此由零势能状态到任意状态弹性势能总是增加的，故当以弹簧自由长度处为弹性势能零点时，弹性势能总是正值。
但应特别注意，弹性势能的零点原则上是可以任意选取的，若不选在弹簧自由长度处，则系统在任意状态下的弹性势能不总是正值，即在某些状态下可能是正值，而在另外一些状态下可能为负值。
（二）选择不同弹性势能的零点对弹性势能的讨论
当弹性势能零点不选在弹簧自由长度处时，在势能零点确定之后，仍可根据势能的定义，即“保守力的功等于物体系系势能增量的负值”，计算出任一状态下系统的弹性势能。
例：水平放置的弹簧一端固定，另一端连一物体。已知弹簧劲度系数为k，物体位于O点（x=0）时，弹簧处于自由长度。试分别以物体位于O点和A点（）为弹性势能零点，计算当物体位于其余点时，系统所处状态的弹性势能。并对计算结果进行分析和讨论。

1．以O点为弹性势能的零点计算
当物体位于A′（x=x0）点时，弹簧被拉伸，拉弹簧过程弹力的功为：
，式中－kx为弹性力，因x＞0，所以－kx沿x轴负向，而dx＞0。
根据势能的定义有：，所以物体位于A′点时，系统的弹性势能。
当物体位于A（）点时，弹簧被压缩，压弹簧过程弹力的功为：
，式中x＜0，－kx沿x轴正向，而dx＜0。
根据势能的定义有：，所以物体位于A点时，系统的弹性势能。
同理，可计算出物体位于B点和B′点时系统的弹性势能为：，物体位于C点和C′点时系统的弹性势能为：。
可见，当以弹簧自由端O点为弹性势能零点时，任一状态下系统弹性势能可以表示为：，并且它恒为正值。
2．以A点为弹性势能零点计算
物体由A点运动到O点过程弹力做正功，系统的弹性势能减少，故当物体位于A点和O点之间时，系统的弹性势能均应为负值。由A到O弹力所做的功为。
根据势能定义有：，物体位于O点时系统的弹性势能；同理可以求得物体位于B点时系统的弹性势能。
物体由O点运动到A′点的过程弹力做负功，弹性势能增加。由O点到A′点，弹力所做的功为。
故有，所以
同理可以分别计算出物体位于B′点及C点和C′点处时系统的弹性势能为：
，
从以上分析计算可以清楚地看出：
（1）若以弹簧自由长度处为弹性势能零点，则弹性势能恒为正值。
（2）若弹性势能零点不选弹簧自由长度处，则系统在任意状态下的弹性势能不总为正值，在某些状态下可能为负值。
如在上例中当以A点为弹性势能零点时，物体位于A、A′之间（）的诸状态时，系统的弹性势能均为负值。
（3）以不同点为弹性势能零点时，同一状态的弹性势能值是不同的。但任意两确定状态的弹性势能差是不变的。
如以O点为弹性势能零点时，、，A、A′两点间势能差为零，A和O、A′和O之间势能差均为；若以A点为弹性势能零点时，则、，显然A点和O点之间，A′点和O点之间的势能差都仍为，A点和A′点所对应的两状态下弹性势能的差仍然为零；说明弹性势能概念中具有实质意义的仍然是势能的增量。