弹性力学最小势能.ppt

弹性力学最小势能原理最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。举个例子来说，一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点位置时，系统就会趋向于稳定平衡。
势能最小原理与虚功原理本质上是一致的。宇宙万物，如果其势能未达到“最小”（局部概念），它总要设法变化到其“相对”最小的势能位置。举个例子：一个物体置于高山上，它相对于地面来说有正的势能（非最小），因而它总有向地面运动的“能力”（向地面“跃迁”，其力学本质是它处于一种不稳平衡状态）。因此，它试图（也只有）向下运动，才能保证其达到一个相对平稳的状态。最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范围里的特殊情况。对于一般性问题：真实位移状态使结构的势能取驻值（一阶变分为零），在线弹性问题中取最小值。
形象地说，当你在一百米高的钢丝绳上走的时候你总是希望尽早回到地上，但其实只要你不动你也是平衡的，因为驻值也可以是极大值（此时称为随遇平衡）。而当你在一百米高的大楼里的办公室里时，你并不害怕，因为周围的物体的势能均不比你小，此时驻值取的是极小值而不是最小值。
1.根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原理
设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能密度函数的一阶变分为

上式推导中，应用了格林公式
将上式代入虚功方程，则

上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。定义外力势能为

注意到虚位移与真实的应力无关，因此在虚位移过程中外力保持不变，即变分与外力无关。而且积分和变分两种运算次序可以交换的，所以外力势能的一阶变分可以写作

回代可得
其中Et称为总势能，它是应变分量的泛函。由于应变分量通过几何方程可以用位移分量表示，所以总势能又是位移分量的泛函。

公式表明，在所有几何可能的位移中，真实位移将使弹性体总势能的一阶变分为零，因此真实位移使总势能取驻值。
2以下证明：对于弹性体的稳定平衡状态，总势能将取最小值

将几何可能位移对应的应变代入总势能表达式，可以得到几何可能位移对应的总势能

将上式减去真实应变分量的总势能，可得

将按泰勒级数展开，并略去二阶以上的小量，有

有

回代可得

由于总势能的一阶变分为零，因此

总势能的二阶变分为

由于

由于应变能密度函数为正定函数，即只有在所有的应变分量全部为零时其才可能为零，否则总是大于零的，因此
所以

以上证明了在所有的可能位移场中，真实位移场的总势能取最小值。所以这一原理称最小势能原理。数学描述即总势能的一阶为零，而且二阶变分是正定的（大于零）。
必须强调指出的是，真实位移与其他的可能位移之间的差别在于是否满足静力平衡条件，所以说最小势能原理是用变分形式表达的平衡条件。
通过总势能的一阶变分为零，可以推导出平衡微分方程和面力边界条件，这和虚功原理是相同的，即最小势能原理也等价于平衡微分方程和面力边界条件。
虚功原理和最小势能原理之间的差别在于：虚功原理不涉及本构关系，适用于任何材料，只要满足小变形条件；最小势能原理除了小变形条件之外，还需要满足应变能密度函数表达的本构关系，因此仅限于线性和非线性弹性体。
3结论
最后，将最小势能原理完整的叙述为：在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值。该方法是以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题的。当然，选择的位移函数必须是在位移已知的边界上满足位移边界条件，对于面力边界是不需要考虑的，因为面力边界条件是会自动满足的。参考文献：
［1］徐芝纶.弹性力学简明教程(第三版)［M］.北京：高等教育出版社，2002.
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［5］李遇春.弹性力学课件［CP/DK］.上海：同济大学结构工程与防灾研究所.
PrincipleofMinimumPotentialEnergyinTheoryofElasticity
WeiShuqiang
（CivilEngineeringCollegeofTongjiUniversity,Shanghai200092）
Abstract:Theelastomerattheequilibriumcondition,theactualdisplacementmakesaminimumofthetotalpotentialenergyfortheelastomer;thisistheminimumpotentialenergyprinciple.
Keywords:minimumpotentialenergy;principleofvirtualwork;theelasticitymec