大物B课后题09-第九章 振动学(1).doc

习题
9-5.在气垫导轨上质量为m的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图所示，试证明物体m的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k1和k2.

解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为

根据牛顿第二定律有

化简得

令则所以物体做简谐振动，其周期

9-6如图所示在电场强度为E的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql的电偶极子，+q和-q相距l，且l不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消失后，这对电荷会以垂直与电场并通过l的中心点o的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m，重力忽略不计。
解取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图所示位置时，点偶极子所受力矩为

点偶极子对中心O点的转动惯量为

由转动定律知

化简得

当角度很小时有，若令，则上式变为

所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为

9-7汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？
解汽车正常载重时的质量为m，振子总劲度系数为k，则振动的周期为，频率为
正常载重时弹簧的压缩量为

9-8一根质量为m，长为l的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O点，如图所示。开始棒在平衡位置OO，处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。
若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。

解设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为，并规定细棒在平衡位置向右时为正，在向左时为负，则力矩为

负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O点转动惯量为,根据转动定律有

化简得

当很小时有，若令则上式变为

所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为

9-9一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅，周期，当t=0时，求以下各种情况的振动方程。
（1）物体在正方向的端点；
（2）物体在负方向的端点；
(3)物体在平衡位置，向负方向运动;
(4）物体在平衡位置，向正方向运动;
(5)物体在处向负方向运动
(6)物体在处向正方向运动。
解由题意知
（1）由初始条件得初想为是,所以振动方程为

（2）由初始条件得初想为是，所以振动方程为

（3）由初始条件得初想为是，所以振动方程为

（4）由初始条件得初想为是，所以振动方程为

（5）因为，所以，取（因为速度小于零），所以振动方程为

（6），所以，取（因为速度大于零），所以振动方程为

9-10一质点沿x轴做简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s，当t=0时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正方向运动，求；
（1）质点振动的运动方程；
（2）t=0.5s时，质点的位置、速度、加速度；
（3）质点x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。
解（1）由题意可知：可求得（初速度为零），所以质点的运动方程为

（2）
任意时刻的速度为

所以
任意时刻的加速度为

所以
（3）根据题意画旋转矢量图。
由图可知，质点在x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为

所以

9-11一弹簧悬挂0.01kg砝码时伸长8cm，现在这根弹簧下悬挂0.025kg的物体，使它作自由振动。请建立坐标系，分析对下述3种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立振动方程。
（1）开始时，使物体从平衡位置向下移动4cm后松手；
（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上的初速度，使其振动；
（3）把物体从平衡位置向下拉动4cm后，又给以向上的初速度，同时开始计时。
解（1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为x轴正方向，建立如图所示坐标系。
系统振动的圆频率为

根据题意，初始条件为

振幅，初相位
振动方程为

（2）根据题意，初始条件为

振幅，初相位
振动方程为

（3）根据题意，初始条件为

振幅，，得
振动方程为

9-12质量为0.1kg的物体，以振幅做简谐振动，其最大加速度为，求：（1）振动周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量。
解（1）简谐振动的物体的最大加速度为

，所以周期为。
（2）做