复数三角形式的乘法.doc

五年师范学校统编教材《数学》

课题复数三角形式的乘法
教学目标：
1、掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程．掌握复数乘法的几何意义．
2、让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法．
3、培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力
教学重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算．
难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握．
教具：三角板
教学过程：
一、复习提问：
1．（1-2i）（2+i）（4+3i）；

第1题检查了复数乘法运算，答案是25，第2题检查了复数的

二、讲授新课
如果把复数z1，z2分别写成
z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2）．
z1·z2这乘法运算怎样进行呢？
想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见．
（教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程）
学生板演：
z1·z2=r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）
=（r1cosθ1+ir1sinθ1）·（r2cosθ2+ir2sinθ2）
=（r1r2cosθ1cosθ2-r1r2sinθ1sinθ2）+i（r1r2sinθ1cosθ2+r1r2cosθ1sinθ2）
=r1r2[（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2]
=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．
这表明两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各辐角的和.
当推广到n个复数相乘的时候，就是：

特别地，复数的n次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍，这个定理就是棣莫佛定理.

例1：

提示：由于复数定义是形如a＋bi（a，b∈R）的数，如果辐角是特殊角或特殊角的终边相同角，要化成代数形式．即

r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］
计算，简便得多．
这就是复数的三角形式乘法运算公式．
二．复数的几何意义：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角θ2（θ2＞0，如果θ2＜0，按顺时针方向旋转一个角|θ2|，再把其模变为原来的r2倍（r2＞1，应伸长；0＜r2＜1，应缩短；r2=1，模长不变），所得的向量就表示积z1·z2．这是复数乘法的几何意义．
图形演示（如图8－7）：=1·2．

例2、向量与-1+i对应，把按逆时针方向旋转120°，得到′，求与向量′对应的复数.
解：将向量逆时针方向旋转120°，得到′，由于模未发生变化，应当是对应复数乘以1·（cos120°＋isin120°）
即z’=(-1+i)（cos120°＋isin120°）=
例3：已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明
x
y
o

三、练习P181、2、3
四、小结:复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算．根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简．在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法．
五、作业P245、8
六、板书设计：（略）