复变函数习题四.doc

复变函数与积分变换习题集

第四章级数
判断题
幂级数在收敛圆上处处收敛。（）
幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。（）
如果是和的极点，则是的极点。（）
如果是的本性奇点，为的极点，则是的本性奇点。（）
如果是的本性奇点，为的极点，则是的极点。（）
如果是的级零点，为的级极点，，则是的可去奇点。（）
如果是的级极点，则是的级极点。（）
若，则在内无奇点。（）
存在在原点解析，在处取值为的函数。（）
一、选择题：
1．设，则()
（A）等于（B）等于（C）等于（D）不存在
2．下列级数中，条件收敛的级数为()
（A）（B）
（C）（D）
3.设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径()
（A）（B）（C）（D）
4．级数的收敛域是()
（A）（B）（C）（D）不存在的
5．函数在处的泰勒展开式为()
（A）（B）
（C）（D）
6．是函数的()奇点
（A）可去奇点（B）极点
（C）本性奇点（D）非孤立奇点
7．设函数在以为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么()
（A）1（B）2（C）3（D）4
8．设是的级极点，则是的（）级极点
(A)（B）（C）（D）
9．设为函数的级极点，那么()
（A）8（B）6(C)4（D）2
10.是函数的（）奇点
（A）可去奇点（B）极点
（C）本性奇点（D）非孤立奇点

二、填空题
1．若幂级数在处发散，那么该级数在处的收敛性为。
2．幂级数的收敛半径。
3．在处的泰勒展开式为。
4．假设是函数的级极点，则是函数的极点．
5．双边幂级数的收敛域为．
6．函数在内洛朗展开式为．
7．具有可去奇点，6级级点和本性奇点的一个函数为．
8．函数在内洛朗展开式为．
9．函数的有限奇点为，类型为．
10．函数在扩充复平面上的奇点为；类型为．
三、用幂级数证明初值问题在解析的唯一解为
四、菲波那契(Fibonacci)数列各项之间的关系为：。证明函数在处的泰勒展开式的系数即为菲波那契(Fibonacci)数列，并明确给出的表达式．
五、试证明
1．
2．
.六、将函数在内展开成洛朗级数.
七、试证在内的洛朗展开式为：
其中
答案：
一、，，，，，，，，，
二、1．（B）2．（C）3．（C）4．（B）５．（D）
６．（D）７．（C）８．（B）９．（A）10．（A）

二、1．不能确定2．13．4．一级5．6。7．8.9.二级极点、一级极点、三级极点10．；可去奇点，本性奇点
四、.
六、.

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