常微分方程初值问题数值解法.doc

常微分方程初值问题数值解法-常微分方程初值问题数值解法HYPERLINK"http://www.hudong.com/editsectionauth/%E5%B8%B8%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%88%9D%E5%80%BC%E9%97%AE%E9%A2%98%E6%95%B0%E5%80%BC%E8%A7%A3%E6%B3%95/3"\t"_self"HYPERLINK"javascript:void(0)"HYPERLINK"http://www.hudong.com/wiki/%E5%B8%B8%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%88%9D%E5%80%BC%E9%97%AE%E9%A2%98%E6%95%B0%E5%80%BC%E8%A7%A3%E6%B3%95"\l"catalog#catalog"
根据给定的初始条件，确定常微分方程惟一解的问题叫常微分方程初值问题。大多数实际问题难以求得解析解，必须将微分问题离散化，用数值方法求其近似解。一阶常微分方程的初值问题的提法是，求出函数y(x)，使满足条件
(1)
利用数值方法解问题(1)时，通常假定解存在且惟一，解函数y（x）及右端函数ƒ(x,y)具有所需的光滑程度。数值解法的基本思想是:先取自变量一系列离散点,把微分问题(1)离散化，求出离散问题的数值解,并以此作为微分问题解y(x)的近似。例如取步长h>0,以h剖分区间【α,b】，令xi=α+ih,把微分方程离散化成一个差分方程。以y(x)表微分方程初值问题的解,以yi表差分问题的解，就是近似解的误差，称为全局误差。因此，设计各种离散化模型,求出近似解,估计误差以及研究数值方法的稳定性和收敛性等构成了数值解法的基本内容。离散化方法常用的有三种：①基于数值微分的方法将方程(1)左端的导数用某个一阶数值微分公式代替,例如在xn点以(yn+1-yn)/h代替yń即得到欧拉向前公式
(2)
若在xn+1点以(yn+1-yn)/h代替则得到欧拉向后公式
(3)
取(2)、(3)的平均，可导出二阶精度的梯形公式
(4)
②基于泰勒展开的方法设计一个算法,假定公式中含有某些待定常数，在函数光滑的假定下，将其按泰勒展开并与微分方程解y(xn+h)的展式中h的同幂次项相比较，按照给定的精度阶得到待定常数应满足的一些方程，通过这些方程确定待定常数，即可得到所要的差分公式。由此法可导出龙格－库塔公式。设计算公式有下列形式
(5)
αi、βij为待定常数。取定N值，可按上述泰勒展开的方法确定它们。最常用的显式4阶龙格-库塔公式为
(6)
式中

③基于函数数值积分的方法将微分方程的解y(x)代入方程(1),在子区间【xn-ih,xn+jh】上积分得到公式
(7)
积分号下是x的函数，若用某些结点上ƒ的值的数值积分公式近似这个积分，便得到各种差分公式，特别地，若取i=0,j=1,并用ƒ在结点xn,xn-1,xn-2,…上的插值代替(7)式中的被积函数，便得亚当斯外推公式。4阶亚当斯外推公式为
(8)
若取ƒ在结点xn+1,xn,xn-1,…上的插值代替(7)式的被积函数，则得亚当斯内插公式。4阶亚当斯内插公式为
(9)
解法可按计算yn+1时用多少个结点上的值分为单步法和多步法,又可以按yn+1出现的形式分为显式法和隐式法。单步法是指已知结点xn上yn的值便可计算yn+1的值的解法,如(2)、(3)、(4)。单步法是可以自己起步的,即可从方程的初值y0一步步算出y1,y2,…的值。多步法是指已知yn,yn-1,…,yn-k+1(k≥2)的值才能计算yn+1的值的解法,又称k步法。例如，(8)是四步法，(9)是三步法。多步法不能自己起步,即给了初值y0以后,还要用其他解法(如单步法)，算出y1,y2,…,yk-1后,才能使用多步法，继续往下计算。多步法公式若对yi和ƒi都是线性的,则称作线性多步法，k步线性多步法的一般形式为

显式法的公式中,未知的yn+1明显地被表示，即公式中除yn+1一项外，其他的项中不再含有yn+1,如公式(2)。隐式法的公式不显含yn+1,求未知的yn+1时一般需要解方程，如公式(3)或(4)。通常用各种迭代方法解隐式差分方程,也可采用较简单的预估-校正方法，如使用梯形公式(4)时，可先用显式公式(2)求得yn+1的预估值,代入式(4)的函数ƒn+1中,再求得yn+1的值。此法又称改进的欧拉折线法。数值解法满足相容的、收敛的、数值稳定的条件时，才有实用价值。为此要研究以下的一些问题。相容性将微分方程离散化所带来的误差叫截断误差。当h→0时，截断误差趋于零，则称离散化后的方程与微分方程具有相容性，表示离散化后