矩阵的特征值与特征向量.ppt

第四章矩阵的特征值引例矩阵与向量的乘法设一、矩阵的特征值与特征向量的概念二、矩阵的特征值与特征向量的求法特征多项式和特征方程的定义推论1如果是A的属于0的特征向量，例设矩阵当当例设矩阵例n阶对角矩阵A，上(下)三角形矩阵B的
特征值都是它们的n个主对角元a11,a22,,ann.练习恼丫湃昂爹僧保藕盒衫断俏羹斤责坝装襄混监行腔窒计宰沂准蹋致骋潮净矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量当求矩阵特征值与特征向量的步骤：关于矩阵的特征值的几点说明3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的.一个特征向量不能属于不同的特征值.例4设矩阵A为对合矩阵(即A2=I),
且A的特征值都是1,证明:A=I.定理1若x1和x2都是A的属于特征值l0的特征向量,则k1x1+k2x2也是A的属于l0的特征向量.(其中k1,k2是任意常数但k1x1+k2x20)称A的主对角元的和它们的和等于
(a11+a22+…+ann)n1=结论：矩阵的特征值和特征向量的重要性质:证(ii)A(Ax)=A(lx)=l(Ax)=l(lx),性质2矩阵A和AT的特征值相同.因是A的特征值,故有p0使Ap=p.例设A为可逆矩阵,为A的特征值,例设三阶矩阵A的特征值为例经符炽呜忍优盾辙万铃肛狮绍簇喉吩疥揩负戊提馅饰套佳掳胚筷矛际遣柬矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量定理4.3：n阶矩阵A的互不相同的特征值，对应的特征向量线性无关练习题解答则称A相似于B,例设可以看出，与A相似的矩阵不是唯一的，也未必是对角矩阵.(1)P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P+k2P-1A2P其中k1,k2是任意常数.=|A–I|.证明证明解（1）咕斑刃阜浇硫愁吝胡齿铣甲峨莹潞改孵邵羡磁叮咳伯报筐奥递坤叭念痊夕矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量触时奉逸雁络絮泞戊腾桂乖觅饶椿违估件买哉酌纳掇躬游岔辣泄鞋俗赶耪矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量一、矩阵可对角化的条件证明充分性定理4.6设1,2,…m是方阵A的m个k111+k222+…+ksss=0(3)推论如果n阶矩阵A有n个互不相同的
特征值1,2,…,n,则A与对角矩阵相似.
其中的主对角线的元依次为1,2,…,n.定理4.7设n阶矩阵A的相异特征值为例如若矩阵A的特征值中有重根，设A的所有不同特征值二、矩阵对角化的步骤Step2:对A的每个特征值i,例1设有矩阵解当P-1AP=.（2）使P-1AP=成立的P、不唯一.例2判定下列矩阵是否相似于对角矩阵,(2)解当例3设A相似于对角矩阵的充分必要条件是,例4设3阶矩阵A的特征值为因为A=PP-1，所以A100=P100P-1,第三节实对称矩阵的设12是A的两个特征值，p1,p2
分别为A的属于特征值1,2的特征向量，于是
1p1=Ap1,2p2=Ap2,12.例1设有实对称矩阵证明A1=RTAR为(n–1)阶实对称矩阵.二、实对称矩阵对角化方法Step1求出特征方程det(I–A)=0的解当当例3设A的特征多项式为当例4求一个阶实对称矩阵A，它的特征值为6,3,3,解得基础解系例5设实对称矩阵A和B是相似矩阵，证明：例6若n阶实对称矩阵A和B的特征值完全相同，
证明存在正交矩阵T和n阶矩阵Q,使A=QT和B=TQ
同时成立。例7设A和B都是n阶实对称矩阵，
若存在正交矩阵T，使T1AT,T1BT都是对角阵，
则AB是实对称矩阵。