数模优秀论文：储油罐的变位识别与罐容表标定.doc

储油罐的变位识别与罐容表标定
专家点评:
本文基于所给数据准确、罐体几何形状因有附属构件而含有误差进而导致推导的罐容与油位高度之间函数关系的理论公式含有较大偏差的理解下，通过对理论公式计算结果与实测数据的偏差的曲线拟合，对小椭圆型储油罐给出了修正的罐容表。文中分析研究了无变位和有纵向变位的小椭圆型储油罐的罐容与油位高度的函数表达式、有纵向变位和横向变位的实际储油罐罐容与油位高度的函数表达式、以储油罐中油量随高度的变化率为依据识别纵向倾斜角度和横向偏转角度，由此给出了罐容表的标定、检验了所给出的数学模型的正确性和可靠性，思路正确、方法有效、所得结果合理，但是，对问题一利用祖暅原理将有变位近似转换为无变位的方法略欠妥当。

中国海洋大学曹圣山教授

摘要

对于两端平头的小椭圆型储油罐与实际球冠封口的储油罐，本文分别建立了相应的数学模型，解决了储油罐变位后的识别和罐容表的标定的相关问题。在建立两个模型的过程中充分的运用了MATLAB和EXCEL两个软件，利用祖暅原理将变位容积计算转换为未变位时的计算，在保证精度情况下，避免了复杂的积分运算。
对于模型1，首先，我们通过积分，得出无变位时的储油量与油位高度关系，此时，所得理论容积与实测容积出现由罐内附属构件占有一定体积造成的偏差，及时的运用曲线拟合的方法获得了其偏差函数，对模型1的公式进行了修正，获得了很好的结果。在变位条件下，依据油位高度，对变位后的小椭圆形储油罐划分了三种高度条件来讨论了其罐容标定，然后利用几何关系将高度转化为无变位条件下的高度来计算容积。
对于模型2，无变位时，同样，我们先积分，积出无变位情况下实际油罐的储油量与油位高度表达式；变位时，我们依然依据油位高度，对实际的球冠封口的储油罐划分为三种情况来讨论，同样采用一些转化将高度转化为无变位条件下的高度来计算容积；在求解α,β的过程中，利用导数间的关系建立了油位高度的关系，编写了导数返查的MATLAB程序以及依据数值逼近思想所利用的迭代公式和最小二乘法的线性拟合，精确地计算出了α，β的值，进而促成模型2的正确建立，然后利用模型计算出罐容标定表并利用给定数据分析检验。

关键词：祖暅原理数值逼近思想最小二乘法迭代模型

1．问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。原文图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。原文图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，原文图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（原文附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

2、符号说明
长度，m；
面积,m2
体积,m3
椭圆管道短半长轴长,m
椭圆管道长半长轴长,m
液面高度,m
误差；
圆筒管道半径,m
球冠封头所对应的球的半径,m

3、基本假设
(1)实际储油罐的偏转角度，角很小；
(2)假设油位探针固定
(3)假设实际油罐内的油位探针装置，注油管，出油管体积不计；
(4)假设实验数据都是可信的

4、问题分析与模型建立

4.1问题一的求解
4.1.1无变位储油量与油位高度关系计算

小椭圆油罐模型采用的是两短平头的椭圆柱体，其三维坐标示意图如下所示：
其油位高度H与储油量V的数学关系式推到如下：

;;
;则;
又因为，由参考文献[1]可知
；（1）

通过此公式计算出的储油量为空油罐理想值，当实际上该油罐内部还有油位探针、注油管、出油管，是实际值比公式计算值偏小，并且误差将随油位高度增加而增加，经过EXCEL对数据的处