第11章 振动.doc

第十一章振动

第十一章振动

思考题
11-1从运动学角度看什么是简谐振动?从动力学角度看什么是简谐振动?一个物体受到一个使它返回平衡位置的力，它是否一定作简谐振动?
答：从运动学角度看，物体在平衡位置附近作来回往复运动，运动变量(位移、角位移等)随时间t的变化规律可以用一个正(余)弦函数来表示，则该物体的运动就是简谐振动。
从动力学角度看，物体受到的合外力(合外力矩)与位移(角位移)的大小成正比，而且方向相反，则该物体就作简谐振动。
根据简谐振动的定义可以看出，物体所受的合外力不仅要与位移方向相反，而且大小应与位移大小成正比。所以，一个物体受到一个使它返回平衡位置的力，不一定作简谐振动。

11-2试说明下列运动是不是简谐振动：
(1)小球在地面上作完全弹性的上下跳动；
(2)小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动；
(3)曲柄连杆机构使活塞作往复运动；
(4)小磁针在地磁的南北方向附近摆动。
答：简谐振动的运动学特征是：振动物体的位移(角位移)随时间按余弦或正弦函数规律变化；动力学特征是：振动物体所受的合力(合力矩)与物体偏离平衡位置的位移(角位移)成正比而反向；从能量角度看，物体在系统势能最小值附近小范围的运动是简谐振动，所以：
(1)不是简谐振动，小球始终受重力，不满足上述线性回复力特征；
(2)是简谐振动，小球只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征；
(3)不是简谐振动．活塞所受的力与位移成非线性关系，不满上述动力学特征；
(4)是简谐振动，小磁针只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。

11-3下列表述是否正确，为什么?
(1)若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；
(2)简谐振动过程是能量守恒的过程，因此，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。
答：(1)正确。当该合力的方向总是指向平衡位置，并且其大小总是正比于位移的大小时，物体所作的周期运动是简谐振动；当该合力的方向总是指向平衡位置，但合力的大小并不仅仅正比于位移的大小时，物体所作的振动就不一定是简谐振动，比如阻尼振动、受迫振动等。
(2)不正确．简谐振动是一种无阻尼的理想的可逆过程，振动过程中没有机械能的耗散，能量是守恒的．而有阻尼的振动，总能量虽守恒，但振动的机械能并不守恒。

11-4若把单摆或弹簧振子放到月球上去，它们的振动周期会发生变化吗?
答：由单摆的周期可知，把单摆放到月球上去以后，由于其重力加速度g发生了变化，所以单摆的振动周期就变长了。而由弹簧振子的振动周期可知，在月球上弹簧振子的振动周期不会变，因为弹簧振子的振动周期不涉及地球或月球的因素，只与弹簧振子本身的因素有关。

11-5在振动中，为什么要用相位来表示振动物体的运动状态?
答：在力学中，物体在某一时刻的运动状态是用位移、速度和加速度来描述的。在振动中，其特点是运动状态变化的周期性，对于这种运动，已知相位可以确定位移、速度和加速度，但是，只用位移、速度和加速度这些物理量无法反映其周期性的特征。对于简谐振动，当振幅和振动频率一定时，振动物体在任一时刻相对平衡位置的位移及其速度都由相位来决定。在一个周期内，相应的相位在0～2之间，物体所经历的运动状态在各点都不相同；在下一周期则重复上述各运动状态。所以，物体经历两个相同的运动状态，必须间隔一个周期或周期T的整数倍时间，相应地相位间的差则为2或2的整数倍。这样，用相位来既可以决定物体的运动状态，又可以反映出这种运动的周期性特征。
另外，在比较两个同频率简谐振动的运动状态变化的步调时，用相位表示更一目了然，具有明显的优越性。例如，若大于零或小于零，就表示振动物体2超前振动物体1或落后于振动物体1；若＝0则表示两个物体的振动是同步的。因此，在振动学中，用相位来表示运动状态。

11-6已知物体在作简谐振动时机械能守恒，请从机械能守恒的角度出发导出做简谐振动的弹簧振子所满足的运动微分方程。设振子的质量为m，弹簧的劲度系数为k。
解：由于机械能守恒，有

两边同时对时间求导，得

即

由于，，令，将这些关系带入上式，得

11-7两个轻弹簧与物体相连，如图所示，弹簧的劲度系数分别为和，物体的质量为m。若不考虑任何摩擦，该系统的振动周期是多少？
解：取平衡位置为坐标原点，x轴方向向右。设物体扰动后向右移动了一段距离x，弹簧1被拉长了，弹簧2被压缩了。由于对系统而言，两个弹簧的伸长(或压缩)量相同，即。但由于两个弹簧的劲度系数不同，故对物体的作用力不同,分别为－和－。两个弹簧对物体的总作用力为。据牛顿运动定律，物体沿x方向的运动方程为

即

或

由此可见，该系统作简谐运动。其周期T应为

11-8一个弹簧振子振动的振幅增大到两倍时，振动的周期、频率、最大速度、最大加速度和振动能量都将如何变化？
答