复数的应用.doc

复数在初等数学中的应用

摘要：本文介绍了复数的一些基本概念、性质、运算等。利用复数的性质来解决初等数学的基本问题，例如代数、几何向量等。一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能。
关键字：共轭复数；复数的模；复平面；复数方程
分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？
实际上，早在16世纪时期，数学家们就已经解决了这个矛盾，而且形成了一整套完整的理论。因为这个新数不是实的数，就称为虚数单位，英文译名为imaginarynumberunit.所以，用“i”来表示这个新数。
引入的新数必须满足一定的条件，才能进行相关的运算，虚数单位i应满足什么条件呢？规定它的平方等于-1，即
因此出现了形如（）的数。它就是我们所说的复数。
一、复数的有关概念
1、虚数单位i
（1）它的平方等于，即；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．
i的乘方：，它们不超出的形式
2、复数a+bi(a,b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
3、根据两个复数相等的定义，设a,b,c,d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di.由这个定义得到a+bi=0.
两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。
4、复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。
性质：；；；
5、在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，
二、复数的表示
1、代数形式。实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部
2、HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/15136.htm"\t"_blank"几何形式。复数z=a+bi被复平面上的点z(a，b)唯一确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
3、HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/77260.htm"\t"_blank"向量形式。复数用一个以原点O为起点，点Z(a，b)为终点的向量表示。这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。
4、三角形式。复数化为三角形式
式中)，是复数的模(即HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/220956.htm"\t"_blank"绝对值)
θ是以x轴为始边，HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/290246.htm"\t"_blank"射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作这种形式便于作复数的乘、除、乘方、HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/594735.htm"\t"_blank"开方运算。
5、HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/194477.htm"\t"_blank"指数形式。将复数的三角形式中的换为，复数就表为指数形式。
三、复平面及复数的坐标表示
1、复平面
在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．
2、复数的坐标表示点
3、复数的向量表示向量．
4、复数的模
在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．
四、复数的运算
1、加法．
几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．
2、减法．
几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．
表示、两点之间的距离，也等于向量的模．
3、乘法
4、乘方
5、除法
6、复数运算的常用结论
(1)，
(2)，
(3)，
(4)，，，．
(5)，
(6)
(7)，，
7、复数的平方根与立方根
（1）平方根若，则是的一个平方根，也是的平方根．（1的