高等数学导数的应用.ppt

第三章导数的应用第二节函数的性质一、函数的单调性定理3.2.1（函数单调性的判定法）设y=f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则
（1)如果在(a,b)内f(x)>0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加；
（2)如果在(a,b)内f(x)<0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少．例1讨论函数y=x3的单调性.例2讨论函数f(x)=ex-x-1的单调性.当f(x)在定义区间除去有限个点外导数均存在,那么只要用导数为零的点(驻点)和导数不存在的点来划分f(x)的定义域，就能保证在各个部分区间上单调。（单调区间的分界点为驻点和不可导点）（1）确定f(x)的定义域；
（2）求出函数在考察范围内的全部驻点和不可导点（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；
（3）用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干个子区间；
（4）确定f(x)在各部分区间的符号，据判定定理判定出f(x)的单调性例4求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的单调区间.令f(x)=0，得,x2=4/5．例6证明：当x>0时，ex>1+x．又因为：f(0)=0，o定义3.2.1设函数f(x)在x0的某领域N(x0,)内有定义，，都有
（1）f(x)<f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极大值；
（2）f(x)>f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极小值．
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．f(x)的极小值点:定理3.2.2（极值的必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么函数f(x)在点x0处的导数为零，即f(x0)=0．1、可导函数的极值点必是它的驻点.3、对于函数y=|x|,我们已知x=0是函数的连续不
可导点.但x=0是函数的极小值点.如图.定理3.2.3（极值的第一充分条件）设函数f(x)在点x0某个空心邻域内可导（f(x0)可以不存在），x为该邻域内任意一点，
（1）当x<x0时f(x)>0，当x>x0时f(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；
（2）当x<x0时f(x)<0，当x>x0时f(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值；
（3）当x<x0与x>x0时f(x)的符号相同，则f(x0)不是函数f(x)的极值．(是极值点情形)定理3.2.4（极值的第二充分条件）设函数f(x)在点x0处二阶可导，且f(x0)=0，f(x0)0，则
（1）当f(x0)<0时，函f(x)在点x0处取得极大值；（2）当f(x0)>0时，函f(x)在点x0处取得极小值．（1）确定函数f(x)的考察范围，（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；例8求函数的极值例9求函数的极值定义3.2.2设函数f(x)在区间I上有定义，x1,x2I，
（1）若xI，都有f(x)f(x1)成立，则称f(x1)为函数f(x)的最大值，x1为函数f(x)的最大值点；
（2）若xI，都有f(x)f(x2)成立，则称f(x2)为函数f(x)的最小值，x2为函数f(x)的最小值点．
函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取得最值的点称为最值点．271.最值是一个整体概念，在某一范围内，最值若存在，只能是唯一的；（2）求出函数f(x)在内的所有可能极值点：驻点及不可导点，即求出f(x)=0的根和f(x)不存在的点；例10求函数在区间[0,4]上的最值.（1）当f(x0)是极大值时，f(x0)就是区间I上的最大值；xR,有在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定可导函数f(x)必存在最大值(或最小值),而且一定在定义区间内部取到.这时,如果f(x)在定义区间内部只有唯一驻点x0,那么,可以断定f(x0)就是最大值(或最小值).(不必讨论f(x0)是否为极值).例12要做一个容积为V的有盖圆柱形水桶，问半径r与桶高h如何确定，可使所用材料最省？令S(r)=0,得唯一的驻点(1)根据题意建立函数关系式y=f(x)；曲线的凹凸性是描述函数性状的一个更深入的概念.（1）定义3.2.3设f(x)在区间[a,b]上连续如果对(a,b)内任意两点x1x2恒有

那么称f(x)在[a,b]上的图形是凹的（记为“”）；如果恒有

那么称f(x)在[a,b]上的图形是凸的（记为“”）；(1)观察切线与曲线的位置关系.定义3.2.4曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点．(1)在拐点(x0,f(x0))处f(x0)=0或f(x0)不存在.
(2)只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点.
(3)如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0))是拐点.定理3.2.5设f(x)在[a