应用随机过程.ppt

§3.1随机过程的收敛性则称随机变量序列xn依均方收敛于随机变量x，并记为

或（m·s——是英文Mean—Square缩写）

1.两个均方收敛性判据
里斯—菲希尔定理：对随机变量序列构造柯西序列如果满足

则必然存在一个随机变量x，使得。洛夫准则（又称均方收敛准则）：随机变量序列均方收敛于x的充要条件是
（c取常数）
2.均方收敛的性质
（1）如果随机变量序列依均主收敛于随机变量x，则有

（2）均方收敛是唯一的。如果
则必有x=y
（3）如果，则有

（4）如果，a和b是任意常数，则有

研究随机过程的统计变化规律，在一定条件下，有时我们也可以借助数学分析的工具建立起随机过程的收敛性、连续性、可微性、可积性等概念，进而可对随机过程的变化规律有更清楚的分析了解。这部分内容属于随机分析，这里我们只作简介。当然在此基础上，我们还可建立随机微分方程，自从伊藤1961年建立随机微分方程理论以来，随机微分方程发展很快，已渗透到各领域。§3.2随机过程的连续性对于右边极限式，自相关函数是的函数。
欲使右边极限为零，则需，才能保证随机过程均方连续。
对于左边，若随机过程均方连续，则随机过程的自相关函数，在上也处处连续。
总之，若随机过程处处均方连续，则它的自相关函数所在上也处处连续，反之也成立。性质1若随机过程X(t)是连续的，则它的数学期望也必定连续，即：

证设是一个随机变量又∵均方连续

由夹挤定理知

这表明求极限和求数学期望的次序可以交换，这是一个非常有用的结果，以后经常可用到。§3.3随机过程的微分及其数学期望与相关函数我们说当随机过程的所有样本函数，即

的极限都存在，则可以说随机过程的导数存在，然而在随机过程中可能有某些样本函数的极限不存在，但大部分都存在，为此我们给出一个条件较弱的随机过程在均方意义下（即平均意义下）的导数存在定义。
定义均方可微：如果满足下式则称在t时刻具有均方导数，记为

一般函数存在导数的前提是函数必须连续，因此随机过程存在导数的前提也需要随机过程必须连续。但是，对一个随机过程要求它们所有样本函数都连续很困难，为此我们定义了所谓的均方连续，并给出随机过程的均方导数与它的相关函数关系性质2如果自关函数时连续，且存在二阶偏导数

则随机过程在均方意义下存在导数（证明略）
应当指出，随机过程有导数，首先过程必须是连续的，但随机过程的连续性不能保证过程一定有导数。2.随机过程的均方导数的数学期望上式说明：随机过程的导数的数学期望等于它的数学期望的导数，且上式的量都是普通非随机函数，因此这个导数具有一般意义。3.随机过程的的导数的自相关函数§3.4随机过程的积分仿此，类似可给出随机过程均方可积定义。
定义随机过程均方可积：当我们把积分区间[a,b]分成n个小区间并令，当时，若

则称Y为随机过程在均方意义下的积分。可表示为：

注意，由随机过程均方可积定义可知其积分结果Y应为一个随机变量。由随机过程的均方可积定义，我们还可给出带有权函数的随机过程均方可积定义，即

式中，是一个权函数，且该函数为普通函数，而积分结果是一个新的随机过程。
在第七章我们将看到，在工程上的解释可看成线性时不变系统的输出，这个输出就是输入的随机信号与系统冲激响应的卷积。
由于随机过程的均方积分是一个随机变量，下面我们来更进一步讨论随机过程的积分y的数学期望、均方值、方差和相关函数。1.随机过程积分的数学期望

这表明随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分，也就是说，积分运算与数学期望的运算次序可以互换。由式（3.10）知，对于又∵3.随机过程积分的相关函数∴§3.4随机微分方程简介但考虑到随机因素的影响，如实始条件的微小变化、测量误差带来的常系数改变或本身就是一个随机过程（若把看作布朗运动的质点受到液体分子随机碰撞）。由此一来，就使得方程的解具有不确定性，从而使其解为一个随机过程。下面我们来研究一个微分方程：

设是随机变量，是随机过程，则称(3.11)式为随机微分方程。式中
可以有一个或一个以上是普通的常数或函数，若它们全是普通意义下的常数或函数，则（3.11）式就是通常的微分方程。随机微分方程可用来表示一个系统的输入与输出关系，若把看作是一个输入信号，则可看作为通过该系统所产生的输出信号，因此，即机微分议程在随机控制论、滤波过程辨识、智能技术、通信等方面都有重要的应用。关于随机微分方程的详细论述可参见文献[9]。这里我们仅通过一个简单例子来建立一些基本概念。
在(3.11)式中，当考虑为常数时，（3.11）式即为给定初始条件Z(0)=0以概率为1）
下面我们来讨论之间的一些数字特征，不妨假设它们的二阶矩都存在。
的数学期望之间的关系
对（3.12）式两端求数学期望，结合3