河南理工大学自动控制原理第3章 第2 3讲 二阶系统时域.pdf

自动控制原理

第2讲二阶系统及
高阶系统时域分析

杨金显
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河南理工大学电气工程与自动化学院
主要内容

二阶系统的时域分析——性能指标

改善系统性能

高阶系统降阶——主导极点

零、极点对系统性能的影响

2
1、二阶系统

dct2()dct()
数学模型：++=2()()ζωω22ctωrt
dt2nnndt

结构图：R(s)2
ωnC(s)

-s(s+2ζωn)

ω2
开环传递函数为:n
G(s)=2
s+2ζωns

3
闭环传递函数为:
2
G(s)ωn
Φ(s)==22
1+G(s)s+2ζωns+ωn
Φ(s)称为典型二阶系统的传递函数，ζ称为阻尼比，
ωn称为无阻尼振荡角频率或自然频率。
特征方程为：
22
s+2ζωns+ωn=0

2
特征根为：s1,2=−ζωn±ωnζ−1，注意：当ζ不同
时极点有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它
的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。
4
二阶系统特征根
阻尼系数特征根极点位置
j
2
ζ>1s1,2=−±ζωnnωζ−10
j

ζ=1s1,2=−=−ζωωnn0
j

2
01<ζ<sj1,2=−±ζωωnn1−ζ0
j

ζ=0s1,2=±jωn0

5
1）当时ζ=0，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼
系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。

2）当时01＜＜ζ，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为
欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。

3）当ζ=1时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼
系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。

4）当ζ>1时，特征方程有一对不等的负实根，称为过阻尼系
统，系统的阶跃响应为非振荡过程。

6
2.二阶系统的单位阶跃响应
1
当输入为单位阶跃函数时，R(s)=，其响应为：
22s
ωωnn1
Cs()=×=22
sssss++2()()ζωnnω−−s12ss
ct()=L−1[Cs()]

[分析]：不同ζ下的单位阶跃响应取决于特征根

2
s1,2=−ζωn±ωnζ−1

7
极点为：
(1)当ζ=0时，s=±jωn
ω211s
C(s)=n∗
22=−22
(s+ωn)sss+ωn

ct()=1−≥cosωntt,0

此时输出将以频率ωn做等幅振荡，所以，ωn称为无阻
尼振荡角频率。
8
(2)当01<<ζ时，极点为：

22
s1,2=−ζωn±jωn1−ζ令：ωζnd1−=ω
阶跃响应为：
2
1ωn1s+2ζωn
C(s)=⋅22=−22
ss+2ζωns+ωns(s+ζωn)+ωd

1s+ζωnζωn
=−22−22
s(s+ζωn)+ωd(s+ζωn)+ωd

2
1s+ζωnζωd/1−ζ
=−22−22
s(s+ζωn)+ωd(s+ζωn)+ωd

−−ζωnnttζωζ
ct()=1−−ecos(ωωddt)esin(t),t≥0
1−ζ29
−ζωntζ
c(t)=1−e[cos(ωdt)+sin(ωdt)],t≥0
1−ζ2
e−ζωnt
则：
ct()=−1sin(ωβdt+),t≥0
1−ζ2

其中：
β=arctan(1−ζ2/ζ)或arccosζ
欠阻尼

2
极点的负实部−ζωn决定了指数衰减的快慢，虚部ωd=ωn1−ζ

是振荡频率。称ωd为阻尼振荡频率。

10
2
s1,2=−ζωn±jωn1−ζ=−σ±jωd

β=−=arctan1ζζ2arccosζ
()

222
σ+ωd=ωn
2
S1×
jωn1−ζO
ωn
β

−ζωn

2
S
2×−jωn1−ζ
11
(3)当时，ζ=1极点为：s1,2=−ωn

阶跃响应函数为：
1ω211ω
C(s)=⋅nn
22=−−2
ss+2ωns+ωnss+ωn(s+ωn)

−−ωωnntt
ct()=−1e−ωnet

临界阻尼
12
2
(4)当时ζ>1，极点为：s1,2=−±ζωnnωζ−1

即特征方程为

2222
s+2ζωns+ωn=[s+ωn(ζ−ζ−1)][s+ωn(ζ+ζ−1)]

C(s)ω2
=n
R(s)22
[s+ωn(ζ−ζ−1)][s+ωn(ζ+ζ−1)]

ω21
C(s)=n⋅
22s
[s+ωn(ζ−ζ−1)][s+ωn(ζ+ζ−1)]

13
22
1⎡e−(ζ−ζ−1)ωnte−(ζ+ζ−1)ωnt⎤
c(t)=1−⎢−⎥
222
2ζ−1⎣⎢(ζ−ζ−1)(ζ+ζ−1)⎦⎥

第一项稳态项第二项瞬态项第三项瞬态项

第二项与第三项相比，初始值(t=0)较小，而衰减系数却很
大，可用下式近似：
2
c(t)=1−e−(ζ−ζ−1)ωnt

14
11
特征方