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一个无惩罚型两步线性搜索算法的综述报告
本文将综述无惩罚型两步线性搜索算法的相关知识。对于搜索算法而言，其基本思想是在可行解域中进行搜索，并通过不断缩小搜索区域，从而快速找到最小值。两步线性搜索算法，是一种较为常用的搜索算法之一，它通过查找目标函数在某一点处的导数信息，来确定搜索方向和步长，以达到快速求解的目的。而无惩罚型两步线性搜索算法则是在标准的两步线性搜索算法基础上，去除了罚函数的影响，实现了更为精确的优化。
一、两步线性搜索算法的基本思想
两步线性搜索算法于1958年被Fiacco和McCormick提出。该算法的基本思想是，在每次迭代中，先找到凸包尽可能接近最优解的点，再根据目标函数的梯度信息，确定搜索方向和步长。具体而言，可以通过以下步骤实现：
（1）首先，随机选择一点作为初始点，假设该点为x0。
（2）依次确定一系列凸包，尽量包含最优解，在实现中通常采用凸包法、梯度投影法或梯度投影替代法来构建凸包。
（3）在凸包上选出一点作为新的迭代点x，然后根据目标函数的梯度信息，在该点处确定新的搜索方向和步长，并更新迭代点。
（4）重复执行步骤（2）和步骤（3），直至找到最优解或达到迭代次数上限。
该算法的优点在于，由于每次迭代都是在凸包上进行，所以能够保证收敛速度较快。而在实现中，一般采用凸包法或者梯度投影法来计算凸包，从而得到初始点。
二、有惩罚型两步线性搜索算法的问题
在标准的两步线性搜索算法中，为了保证所有点都在凸包内，约定了一个罚函数，使得不位于凸包内的点得到惩罚。这种做法虽然能够保证点位于凸包内，但是罚函数会对目标函数产生影响，导致下降速度慢，甚至可能停留在不是全局最优解的局部最优解处。
同时，在实际应用中，不同的目标函数可能需要采用不同的罚函数，而这些罚函数虽然能够保证点位于凸包内，但是它们都会影响到目标函数的原始值，从而导致求解效果不是很理想。因此，提出了无惩罚型两步线性搜索算法，去除了罚函数的干扰。
三、无惩罚型两步线性搜索算法的基本思路
无惩罚型两步线性搜索算法的基本思路，是在标准的两步线性搜索算法基础上，将原始的目标函数标准化处理，使其在搜索过程中不受凸包的影响。具体而言，可以采用以下步骤：
（1）首先，对目标函数进行标准化处理，使目标函数的最大值和最小值均为1。具体而言，可以采用如下公式计算：
f(xi)=(f(xi)-fmin)/(fmax-fmin)
其中，f(xi)表示目标函数的原始值，fmin和fmax表示目标函数的最小值和最大值。标准化处理后，f(xi)的值域均为[0,1]。
（2）对于每次新的迭代点x，根据目标函数的梯度信息，确定新的搜索方向和步长，然后更新迭代点。
（3）计算新点的原始目标函数值，然后将其标准化。
（4）如果标准化后的新目标函数值小于当前点的目标函数值，证明前进方向正确，向前移动一步。反之，向后移动一步。
（5）重复执行步骤（2）至步骤（4），直至找到最小值或达到迭代次数上限。
该算法的优点在于，去除了罚函数的影响，可以更加精准地找到全局最优解。同时，由于采用了标准化处理的方法，可以避免罚函数对目标函数造成的干扰。
四、总结
综上所述，两步线性搜索算法是一种基于凸包的搜索算法，可以快速寻找最小值点。然而在标准的两步线性搜索算法中，由于采用了罚函数的方法，会对目标函数产生影响，降低搜索效率。为此，提出了无惩罚型两步线性搜索算法，通过标准化目标函数的方式，绕开了罚函数对目标函数的影响，实现了更加精准的优化求解。