最新高中数学第一章导数及其运用1.2.1几个常用函数的导数习题新人教A版选修2_2.doc

第一章1.21.2.1几个常用函数的导数

A级基础巩固
一、选择题
1．已知物体的运动方程为s＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为(D)
A．eq\f(19,4) B．eq\f(17,4)
C．eq\f(15,4) D．eq\f(13,4)
[解析]∵s′＝2t－eq\f(3,t2)，∴s′|t＝2＝4－eq\f(3,4)＝eq\f(13,4)，故选D．
2．以下结论中不正确的是(B)
A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32
B．若y＝eq\f(1,\r(x))，则y′|x＝2＝－eq\f(\r(2),2)
C．若y＝eq\f(1,x2·\r(x))，则y′|x＝1＝－eq\f(5,2)
D．若y＝x－5，则y′|x＝－1＝－5
[解析]∵(eq\f(1,\r(x)))′＝(x－eq\f(1,2))′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)
∴y′|x＝2＝－eq\f(\r(2),8)．
故B错误．
3．若f(x)＝eq\r(3,x)，则f′(－1)＝(D)
A．0 B．－eq\f(1,3)
C．3 D．eq\f(1,3)
[解析]∵f(x)＝xeq\f(1,3)，
∴f′(x)＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3)
∴f′(－1)＝eq\f(1,3)(－1)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，∴选D．
4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(B)
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
[解析]f′(x)＝3x2，
∴3x2＝1，解得x＝±eq\f(\r(3),3)，
故存在两条切线，选B．
5．(2017·武汉期末)若f(x)＝x5，f′(x0)＝20，则x0的值为(B)
A．eq\r(2) B．±eq\r(2)
C．－2 D．±2
[解析]函数的导数f′(x)＝5x4，
∵f′(x0)＝20，
∴5xeq\o\al(4,0)＝20，得xeq\o\al(4,0)＝4，
则x0＝±eq\r(2)，
故选B．
6．(2018·长春高二检测)曲线y＝eq\f(1,3)x3在x＝1处切线的倾斜角为(C)
A．1 B．－eq\f(π,4)
C．eq\f(π,4) D．eq\f(5π,4)
[解析]∵y＝eq\f(1,3)x3，∴y′|x＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满意tanα＝1，
∵0≤α<π，∴α＝eq\f(π,4)．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)，且f′(a)－f(a)＝－2，则a＝1或－eq\f(1,2)．
[解析]f′(x)＝－eq\f(1,x2)，
∴f′(a)＝－eq\f(1,a2)，
∴f′(a)－f(a)＝－eq\f(1,a2)－eq\f(1,a)，
∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a)＝2，
解a＝1或－eq\f(1,2)．
8．若曲线y＝x3的某一切线与直线y＝12x＋6平行，则切点坐标是(2,8)或(－2，－8)．
[解析]设切点坐标为(x0，xeq\o\al(3,0))，
由于y′＝3x2，所以切线的斜率k＝3xeq\o\al(2,0)，又切线与直线y＝12x＋6平行，所以3xeq\o\al(2,0)＝12，解得x0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．
三、解答题
9．将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹．若最外一圈波纹的半径R以6m/s的速度增大，求在2s末被扰动水面面积的增长率．
[解析]设被扰动水面的面积为S，时间为t，
依题意有S＝πR2＝36πt2，所以S′＝72πt，
所以2s末被扰动水面面积的增长率为S′|t＝2＝144π(m2/s)．
10．(2017·北京理，19(1))已知函数f(x)＝excosx－x，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程．
[解析]由于f(x)＝excosx－x，
所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0．
又由于f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1．
B级素养提升
一、选择题
1．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－eq\f(1,2)x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为(D)
A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3,3),3)
C．eq\r(3) D．eq\f(\r(3,9),3)
[解析]由导数的定义容易求得，曲线y＝x3－1