高中数学 平面向量数量积 新人教A版必修4.doc

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课题：平面向量的数量积

考情分析
向量的数量积仍然是高考考查的热点，经常以选择题，填空题的形式出现，难度适中，但灵活多变。以重点考查平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题为主。
向量的数量积还经常与三角函数、解三角形、解析几何等知识相结合，一解答题形式出现，命题的空间较大，且形式灵活，全面考查能力，突出向量的工具性，在知识的交汇处命题是高考的热点之一。
复习要求
理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
◆复习重点
数量积的坐标表示与数量积的运算
夹角与模的相关问题
与三角函数、解析几何等知识的综合应用
复习难点
数量积的几何意义的理解
夹角与模的相关问题
与三角函数、解析几何等知识的综合应用

教学过程
平面向量的数量积
两向量的夹角
向量的数量积
两向量的夹角
两向量的夹角
性质

=0
=||2，
||≤||||
cos=
性质

运算律

A．考点梳理

☆考点解读
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角
2．平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有=||||cos，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0
B
3.几何意义：“投影”的概念：作图
B
B
A
O
B1

(B1)
O
A
B1
O
A

定义：||cos叫做向量在方向上的投影
思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？
投影是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为||；当=180时投影为||
几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影||cos的乘积
4．代数性质（两个向量的数量积的性质）：
（1）两个非零向量与，=0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；
（2）两个非零向量与，当与同向时，=||||；
当与反向时，=||||
（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；
（3）cos=（此性质可以解决向量的夹角问题）；
（4）=||2，，（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；
（5）||≤||||（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；

5．任何一种运算都满足一定的运算律，以方便运算，数量积的运算律：
实数的运算律向量数量积运算律（交换律）ab=ba√（结合律）(ab)c=a(bc)×（分配律）a(b+c)=ab+ac√√
5．两个向量的数量积的坐标运算

B．考点典例
1.平面向量的数量积及运算
例1.（1）在直角三角形ABC中，,AB=5,AC=4.求
(2)若=（3，-4），=（2，1）。试求（-2）·（2+3）
解：（1）在△ABC中，，AB=5,AC=4故而BC=3
所以cos∠ABC=,即＜＞=--ABC
∴=-cos∠ABC=-5×3×=-9
（2）-2=（-1，-6），2+3=（12，-5）
∴（-2）·（2+3）=-1×12+（-6）×（-5）=18
【评析】本例强调数量积的基本运算，特别是夹角范围的判断，对（2）小题还可以利用运算律展开与实数中的多项式乘法法则类比，借此强调不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算中，如：；等。
Ex1已知=1,=,·=0,点C在∠AOB内，且∠AOB=，设=+,(,∈R),则=3
夹角与模
例2.已知：，是两个非零向量，且==∣-∣，
求：与+的夹角
解：设与+的夹角为，由=得=
又由==-2+
∴=
而=+2+=3
∴=
∴cos===
C
A
∵０≤≤π∴=

方法二：如图，以O为起点做向量=，
=，
O
B
连接AB,得-，=+，
显然△AOB为正三角形，∠AOB=,故而与+的夹角为。
【评析】熟悉夹角公式的结构形式，了解夹角与模的关系，借助几何意义处理问题的简便性，体现数形结合思想。
Ex2如图在Rt△ABC中，已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A位中点，
问与的夹角取何值时，的值最大？并求其最大值。

C
解：∵∴·=0
Q
又∵=-,=-
A
B
=-
P
∴=(-)·(-)
=·-·-·+·
=--·+·=--·(-)
=-+·=-+cos
故而当cos=1，即=时，最大，其最大值为0
【评析】

与三角函数的综合
例3．（09江苏T15）设向量
（1）若与垂直，求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）求的最大值;
（3）