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用心爱心专心

数学学科课堂有效教学案例
——同角三角函数关系教学
蒋小梅王天双
“同角三角函数关系”承上启下，是以任意角的三角函数以及三角函数线为营养基，导出同角的三角函数关系式，开启了“求值，化简，等式证明”的新时代。
O

一、问题情境：
问题1：任意角的三角函数值是怎么定义的？
问题2：它的几何表示是什么呢？
问题3：RTOPM中，有
，
若将各线段用对应的三角函数来代替的话，可得什么结果？
问题4：由RTOPM~RTOTA，得：,同样将各线段用对应的三角函数来代替的话，得什么结果？
（学生讨论，得出关系式）
二、建构数学：同角的三角函数关系式：
平方关系：

三、数学运用

注：由问题情境的设问，学生自主得出关系式，温故知新。在教师引导下，检索出有效公式。让学生体会到“旧”是“新”的生长点，“新”是生成的，而不是已有的。

注：这组判断题，达成两个目标：（1）学生通过反复比对公式，完成对公式的记忆；
（2）通过辨析过程，体会：=1\*GB3①公式揭示的是“同角”的三角函数之间的关系，而与角的表现形式无关，这里的同角可以引申为终边相同的角；=2\*GB3②平方关系：对任意的都成立，商的关系：仅当
时才成立。

变式一：

师：以上题目解决了一类怎么样的求值问题？
生：已知角的一个三角函数值，求另两个三角函数值。
师：若角的范围不确定时，应什么注意事项？
生：若角的范围不确定时，需分类讨论.

变式二：

课堂练习：略。
四、课时小结：略。
五、教后记：
本节课较好的完成了教学任务。但仍感觉学生存在以下几方面的不足：
（1）已知一个角的三角函数值，求其他三角函数值时，常用特值法。如例题1，很多同学取y=4，r=5，x=3来做。
（2）化简时，化简方向不明，化到哪一步结束也没有把握。
（3）利用公式，可以将1和互换，强化不够，需在下节课解决。
注：这组例题（变式）是三角函数关系式的第一个应用，即“知一求二”。通过例题1让学生初步体会解题的一般步骤和格式，养成规范。再通过变式一让学生认识到分类讨论的必要性以及分类的标准，分类的时刻等。

注：老师的两个问题画龙点睛，帮助学生从感性认识上升到理性认识。

注：变式二是课本的例题2稍做变形，课本原题是：
这里变形之后可以强化终边相同的角，其三角函数值相等。以此为契机，培养学生数学基本素养，即所谓“润物无声，日日生生”。

有的学生用了如左边所示的方法。此法利用了定义，返璞归真。两位同学分别在黑板上板演了两种不同的方法。经过比对，各抒己见。

注：这是三角函数关系式的第二个应用——化简。本题也体现了化简的一般思路：
通分——将两项化为一项；
开方——去根号；
“切化弦”的化归思想。

注：这是同角三角函数关系式的第三个应用——证明恒等式。从此开启了恒等式证明的时代。所以通过本题，要向学生介绍恒等式证明的常用方法和原理。
证明恒等式的途径通常是：
（1）从一边开始，证明它等于另一边，证明的指向一般是由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子；（3）分析法，寻找等式成立的充分条件；（4）作差法。（5）数形结合，从图中寻找等式成立的条件。

例题2.

课堂练习：略.
四.课时小结：略.

五.教后记：
本节课较好的完成了教学任务，但仍感觉学生存在以下几方面的不足：
（1）已知一个角的三角函数值，求其他三角函数值时，常用特值法.如例题1，很多同学取y=4，r=5，x=3来做.
（2）作化简题时，化简方向不清，化到哪一步结束也没有把握.
另：利用公式，可以将1和互换，这种用法本节课强化不够，需在下节课解决.