高二数学课题：曲线和方程人教版知识精点.doc

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高二数学课题：曲线和方程人教版

【同步教育信息】
一.本周教学内容：
课题：曲线和方程
教学目标：
使学生理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义。掌握求曲线的方程的一般步骤，并能根据已知条件较熟练地求出曲线的方程。
能力训练：
培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，强化数形转换的思想方法。

二.重点、难点：
重点：曲线和方程的概念以及求曲线的方程的步骤和一般方法。
难点：对“曲线的方程”和“方程的曲线”的意义中两个规定的理解，在求曲线的方程中一时难以把握其解法规律。

【教学过程】
一.知识小结：
1.曲线和方程的关系：
若：（1）曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解；
（2）以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，
则这个方程f(x，y)=0叫做曲线C的方程，这条曲线C叫做方程f(x，y)=0的曲线。
2.求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M(x，y)。
（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}。（找等量关系）
（3）用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0；
（4）化方程f(x，y)=0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
注：步骤（2）和（5）可以省略不写，如有特殊情况可适当予以说明。

【典型例题】
1.应用曲线和方程的定义解题：
例1.点P1（3，－4），P2（－2，3）是否在方程x2+y2=25表示的曲线上？为什么？
解：∵32+(－4)2=25∴点P1在曲线x2+y2=25上。
理由：根据定义中的（2）
∵(－2)2+32≠25，∴点P2不在曲线x2+y2=25上。
理由：根据定义中的（1）。

例2.若命题“曲线C上的点都是方程f(x，y)=0的解”是正确的命题。
①不是曲线上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)=0。
②坐标满足方程f(x，y)=0的点均在曲线C上。
③曲线C是方程f(x，y)=0的曲线。
上述三个命题正确的有（）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解：取曲线C为直角坐标系第一和第三象限的角平分线。
取方程为：x2－y2=0。
此时原命题正确，但是①②③全不对，∴选A。

例3.已知点A（a，b）既是曲线y=x2+2x+1上的点，也是直线4x－y=0上的一点，求点A的坐标。
解：根据点A在曲线上，则点A的坐标为方程的解。
若点A同时在两条曲线上，则A点为两曲线的公共点。
再根据两曲线的交点即是它们的方程组的解知：

2.在给定坐标系中求曲线的方程：
例1.已知△ABC的顶点B（0，0），C（4，0），AB边上中线的长为3，求顶点A的轨迹方程。

解：
∴CM为AB边上的中线。
∴|CM|=3。

注：（1）要数形结合，从图中易知y≠0。
（2）求哪点的轨迹就设哪点的坐标为（x，y）。

例2.在△ABC中，已知顶点A（1，1），B（3，6）且△ABC的面积等于3，求顶点C的轨迹方程。

解：设C（x，y），作CH⊥AB于H。

即|5x－2y－3|＝6。
∴5x－2y－9＝0或5x－2y＋3＝0为C点的轨迹方程。

例3.过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

解：（法一）设M（x，y）
∵M（x，y）是线段AB的中点，
∴A（2x，0），B（0，2y）。
∵l1⊥l2，且l1、l2都过P（2，4），
∴kPA·kPB＝－1

当x=1时，A（2，0），B（0，4），AB中点M（1，2）
∵M（1，2）满足x＋2y－5＝0
∴综上得M点的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
（法二）：设M（x，y），则A（2x，0），B（0，2y）

化简得x＋2y－5＝0即为所求。
（法三）：设M（x，y），则A（2x，0），B（0，2y），

即x＋2y－5＝0为所求。
（法四）：设M（x，y）

即x＋2y－5＝0。

3.自己建立直角坐标系求曲线的方程。
例1.在△ABC中，AB=AC=BC，P为△ABC内一点，且|PA|2=|PB|2+|PC|2，求点P的轨迹方程。

解：以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，
BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。
设P（x，y）是轨迹上任意一点，B（－a，0），C（a，0），

∵|PA|2=|PB|2+|PC|2

∵P在△ABC内∴y>0。

注：在求方程时，要注意去掉不符合条件的点。
例2.已知在△ABC中，|BC|=6，BC边上的高等于2，点A在与BC平行的直线l上运动，求△ABC的垂心的轨迹。

解：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴如图建立直角坐标