试题-全国-2011_六年级奥林匹克数学讲义三 新定义与新运算（一）.rar

1用心爱心专心三、新定义与新运算（一）1.规定a☉b=,则2☉(5☉3)之值为.2.规定“※”为一种运算,对任意两数a,b,有a※b,若6※x,则x=.3.设a,b,c,d是自然数,定义.则3,4,1,2.4.[A]表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:=.5.规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=.6.两个整数a和b,a除以b的余数记为a☆b.例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9)☆4=.7.对于数a,b,c,d规定.如果,那么x=.8.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=.9.规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]=.10.假设式子表示经过计算后,a的值变为原来a与b的值的积,而式子表示经过计算后,b的值为原来a与b的值的差.设开始时a=2,b=2,依次进行计算,,,,则计算结束时,a与b的和是.11.设a,b,c,d是自然数,对每两个数组(a,b),(c,d),我们定义运算※如下:(a,b)※(c,d)=(a+c,b+d);又定义运算△如下:(a,b)△(c,d)=(ac+bd,ad+bc).试计算((1,2)※(3,6))△((5,4)※(1,3)).12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了.小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了.对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).13.表示成;表示成.试求下列的值:(1);(2);(3);(4)如果x,y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:.14.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.三、新定义与新运算（一）(答案）第[1]道题答案：.5☉3=,2☉(5☉3)=2☉.第[2]道题答案：8.依题意,6※,因此,所以x=8.第[3]道题答案：280.原式.第[4]道题答案：5.因为有个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式.第[5]道题答案：9.因为4※1=,所以x※(4※1)=x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.第[6]道题答案：0.,26☆9=8,又,故(26☆9)☆4=8☆4=0.第[7]道题答案：6.因为,所以,故.第[8]道题答案：86415.7※5=7+77+777+7777+77777=86415.第[9]道题答案：25.原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.第[10]道题答案：14.第1次计算后,;第2次计算后,;第3次计算后,;第4次计算后,.此时.第[11]道题答案：(1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).第[12]道题答案：原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.第[13]道题答案：(1);(2);(3)因为,所以;(4)令则..第[14]道题答案：(1)1991☉2000=9;由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1)x<11,这时x除11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.2)x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13.