试题-全国-2011_第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第二试.rar

5用心爱心专心数学竞赛第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第二试及答案1．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。2.四边形ABCD被AC和DB分成甲，乙，丙，丁4个三角形（如图）。已知：BE=80cm．CE=60cm，DE=40cm，AE=30cm。问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？3．已知：,问：a除以13所得余数是几？4．某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男、女生各自的平均成绩是75.5分、81分。问：这个班男、女生人数的比是多少？5．某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面．当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在位置相同时，它们就被看作是同一种积木块。试说明：最多能涂成多少种不同的积木块？6．一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7千米．从早晨7点开始，有18列货车由第十一站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都是每小时60千米．早晨8点，由第一站发出一列客车，向第十一站驶去，时速是100千米。在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站。问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇？参考答案1.361，400，441，484，529，576和6252.倍3.余数是84.男女生人数比为6∶55.共有6种不同的积木块6.在第五、六两站之间，客车与3列货车相遇1.【解】如果a是自然数n的约数，那么也是n的约数，所以，n的约数a与可以配成一对，只有在n＝a2时。a与才会相等，所以在n不是平方数时，它的约数两两配成．从而约数的个数是偶数；在n是平方数a2时，它的约数a只能与自己配对，所以n的约数个数是奇数。在360到630间有7个平方数(192＝361＞360．252＝625＜630，25－19＋1＝7)，所以有7个数的约数个数为奇数,它们为：361，400，441，484，529，576和625。2.【解】：＝80：40＝2：1，：＝60：30＝2：1．：＝60：30＝2：1．所以，（＋）：(＋)＝(2＋)：2＝5：4＝5：4。答：丙与丁这两个三角形的面积之和是甲与乙两个三角形面积之和的倍。3.【解】199119911991被13整除。有1991个1991因为1991除以3余2，所以a除以13与19911991除以13，所得余数相同。19911991除以13余8，因此a除以13的余数也是8答：a除以13所得余数为8。4.【解】已知全班平均成绩是78分，而男生平均成绩为75.5分，因此每个男生比平均分少(78－75.5)分，而每个女生比平均分多(81－78)分。男生总共少的分数应该等于女生总共多的分数，所以有(78－75.5)×男生数＝(81－78)×女生数，因此，男生数∶女生数＝(81－78)∶(78－75，5)＝6∶5答：男、女生人数比是6∶5【又解】设男、女生人数分别为a、b，则75.5×a＋81×b＝78×(a＋b)所以(8l一78)×b＝(78－75.5)×a答：男、女生人数的比是6∶5，5.【解】总可以使下底面为红色。如果上底面也是红色，通过翻动，可以使前面为黄色，左面不是黄色，这时后面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种。如果上底面不是红色，通过旋转，可以使后面为红色，这时又分两种情况：(1)前面与上面同色，可以同为黄色，也可以同为蓝色，有2种。(2)前面与上面不同色，通过翻动，可以使上面为黄色，前面为蓝色，这时右面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种。因此，共可涂成2＋2＋2＝6种不同的积木块。6.【解】每5分钟发出一列货车，货车速度为每小时60千米，即每分钟1千米．所以每两列相继的货车相距5千米第1列货车行了1小时，客车才出发，所以两车之间距离为7×(11－1)－60×1＝10(千米)，两车经(小时)相遇，距第一站(千米)由于每两列相继货车相距5千米，所以客车遇到一列货车后，再行(千米)，便遇到下一列货车。如果A、B是两个相邻的车站，那么当客车在这两站之间遇到3列货车时，与第1列货车相遇的地点A点的距离应不超过7－×2＝(千米)．反过来，在这条件满足时，客车在A、B之间与三列货车相遇。设客车遇到第n＋1列货车时，在A、B两个相邻的车站之间，并且在这两个车站之间又接连再遇到两列货车，那么客车行了(千米)并且与第m＋1个站A的距离不超过千米，从而－7m≤即25(n＋2)－56m≤6(1)(1)式表明25的某个倍数，除以56后，余数≤6。不难通过验算发现25×9＝225＝56×4＋1，所以在第5个站与第6个站之间，客车遇到三列货车。接下去满足(1)式的是25×9×2＝56×4×2＋2但这时，n＋1＝9×2－1＝17．客车遇到第n＋1列货车后，只能再与一列货车相遇所以本题的答案是：在第5个站与第