2024学年高三上学期11月期中教学质量检测(一模)数学答案.pdf

2023学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
12345678
ABDABCAA
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9．CD10．BCD11．ABC12．BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．1514．√1315．－216．√2
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解：（1）由题知，A＋C＝180°，所以cosA＝－cosC，

根据余弦定理BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC，

即BD2＝5－4cosA，BD2＝13－12cosC．
所以5－4cosA＝13－12cosC，所以cosC＝1．
2
所以BD＝√7．

（2）因为BD2＝PB2＋PD2－2PB·PDcosA

＝(PB＋PD)2－3PB·PD

(ᵄᵃ＋ᵄᵃ)2
≥(PB＋PD)2－3·
4
(ᵄᵃ＋ᵄᵃ)2
＝，
4
所以(PB＋PD)2≤28，所以PB＋PD≤2√7（当且仅当PB＝PD时取等号）
所以√7＜PB＋PD≤2√7．

18．（1）由①得：2a＝b＋1；

1
ᵄᵆᵄ
由②得：＝ᵆ，（x＞0）恒成立，
ᵄ＋ᵆ2ᵄ＋1
ᵆ2
即b＋x2＝bx2＋1恒成立，所以b＝1，所以a＝1，
ᵆ
所以f(x)＝；
1＋ᵆ2
（2）因为f′(x)＝(1−ᵆ)(1+ᵆ)，所以f(x)在(0，1)单调递增，(1，＋∞)单调递减．
2
(1＋ᵆ2)
不妨设A(t，0)，t∈(0，1)，由f(x)＝ᵅ(1)知B(1，0)．
ᵆᵆ

那么|AB|＝1－t，|AD|＝ᵆ
；S＝(1−ᵆ
)∙ᵆ
＝－1＋2，
ᵆ
1+ᵆ
2ᵆ
1＋ᵆ
2ᵆ
2＋1
因为t∈(0，1)，所以0＜S＜1．

19．（1）如图，以点A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立坐标系．
那么P(0，0，ᵄ)，D(0，b，0)，C(a，a，0)，E(0，ᵄ，√3ᵄ)，B(a，0，0)．
√344

1
ᵄ3ᵄᵄ
故ᵃᵃ⃗⃗⃗⃗⃗＝(−ᵄ，，√)，ᵄᵃ⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，ᵄ，−)，
44√3
因为ᵃᵃ⃗⃗⃗⃗⃗∙ᵄᵃ⃗⃗⃗⃗⃗＝0，所以ᵃᵃ⃗⃗⃗⃗⃗⊥ᵄᵃ⃗⃗⃗⃗⃗，即ᵃᵃ⊥ᵄᵃ．

（2）因为ᵃᵃ⃗⃗⃗⃗⃗＝(ᵄ，0，0)，所以ᵃᵃ⃗⃗⃗⃗⃗∙ᵄᵃ⃗⃗⃗⃗⃗＝0，

故ᵃᵃ⊥ᵄᵃ，所以PD⊥平面ABE，
ᵄ
故平面ABE的法向量ᵅ⃗＝ᵄᵃ⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，ᵄ，−)，
√3

设直线PC与平面ABE所成角为θ，则：

ᵄ2
ᵄᵄ＋√10
sinθ＝|cos<ᵄᵃ⃗⃗⃗⃗⃗，ᵅ⃗>|＝3＝，
224
√ᵄ2＋ᵄ∙√2ᵄ2＋ᵄ
33
a1
整理得ᵄ＝2ᵄ，即．
b2

20．（1）设事件A为挑战者获胜，事件B为不多于两次答题比赛结束．

P(A|B)＝0.5×0.5＝0.25．
1
（2）设P为先答题者获胜的概率，则P＝0.5×(0.5＋0.5P)，解得P＝．
3
（3）设随机变量X为挑战者连续挑战8人时战胜得守擂者人数，P为此时挑战者获胜的概率；
1
Y为挑战者连续挑战9人时战胜得守擂者人数，P为此时挑战者获胜的概率．
2
62718
ᵄ＝ᵄ(ᵄ≥6)＝ᵃ6(1)(2)＋ᵃ7(1)(2)＋ᵃ8(1)＝129，
18338338338
72819
ᵄ＝ᵄ(ᵄ≥7)＝ᵃ7(1)(2)＋ᵃ8(1)(2)＋ᵃ9(1)＝163．
29339339339
显然，P＞P，即该挑战者胜利的概率没有增加．
12

2ᵅ＋3ᵄ2ᵅ＋3
21．（1）由ᵄ＝ᵄ＝1；令ᵅ＝2，得ᵅ(ᵄ＋2ᵄ)＝3ᵄ＋3ᵅ，故ᵄ＝，2＝；
112112
3ᵅᵄ13ᵅ
因为ᵅ(ᵄ＋2ᵄ)＝3ᵄ＋3ᵅ，其中ᵅ>0，ᵅ≥2，ᵅ∈ᵀ
．
ᵅᵅᵅ−1
所以当ᵅ≥3时，ᵅ(ᵄ＋2ᵄ)＝3ᵄ＋3ᵅ，
ᵅ−1ᵅ−1ᵅ−2
两式相减得：ᵅ(3ᵄ−2ᵄ)＝3ᵄ，
ᵅᵅ−1ᵅ−1
ᵄ2ᵅ＋3
整理得：ᵅ＝，(ᵅ≥3)．
ᵄᵅ−13ᵅ
2ᵅ＋3
综上，数列{ᵄ}是首项为1，公比为的等比数列．
ᵅ3ᵅ
2ᵅ＋312ᵄ＋31212ᵅ＋1
（2）由题意得：ᵅ(ᵅ)＝，(ᵅ>0)，＝ᵅ(ᵄ)＝ᵅ−1＝＋，ᵄ＝1，故＝．
ᵅ−11
3ᵅᵄᵅ3ᵄᵅ−1ᵄᵅ−13ᵄᵅ3
当ᵅ为偶数时，

1−1＋1−＋⋯＋(−1)ᵅ＋11＝1(1−1)＋1(1−1)＋⋯＋1(1−1)
ᵄᵄᵄᵄᵄᵄᵄᵄᵄᵄᵄᵄᵄᵄ